高考专题：平面向量中的三角形“四心”问题题型总结

专题：平面向量中三角形“四心”问题题型总结在三角形中，“四心”是一组特殊的点，它们的向量表达形式具有许多重要的性质，在近年高考试题中，总会出现一些新颖别致的问题，不仅考查了向量等知识点，而且培养了考生分析问题、解决问题的能力．现就“四心”作如下介绍：1．“四心”的概念与性质(1)重心：三角形三条中线的交点叫重心．它到三角形顶点距离与该点到对边中点距离之比为2∶1.在向量表达形式中，设点G是△ABC所在平面内的一点，则当点G是△ABC的重心时，有GA＋GB＋GC＝0或PG＝13(PA＋PB＋PC)(其中P为平面内任意一点)．反之，若GA＋GB＋GC＝0，则点G是△ABC的重心．在向量的坐标表示中，若G，A，B，C分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为G(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则有x＝x1＋x2＋x33，y＝y1＋y2＋y33.(2)垂心：三角形三条高线的交点叫垂心．它与顶点的连线垂直于对边．在向量表达形式中，若H是△ABC的垂心，则HA·HB＝HB·HC＝HC·HA或HA2＋BC2＝HB2＋CA2＝HC2＋AB2.反之，若HA·HB＝HB·HC＝HC·HA，则H是△ABC的垂心．(3)内心：三角形三条内角平分线的交点叫内心．内心就是三角形内切圆的圆心，它到三角形三边的距离相等．在向量表达形式中，若点I是△ABC的内心，则有|BC|·IA＋|CA|·IB＋|AB|·IC＝0.反之，若|BC|·IA＋|CA|·IB＋|AB|·IC＝0，则点I是△ABC的内心．(4)外心：三角形三条边的中垂线的交点叫外心．外心就是三角形外接圆的圆心，它到三角形的三个顶点的距离相等．在向量表达形式中，若点O是△ABC的外心，则(OA＋OB)·BA＝(OB＋OC)·CB＝(OC＋OA)·AC＝0或|OA|＝|OB|＝|OC|.反之，若|OA|＝|OB|＝|OC|，则点O是△ABC的外心．2．关于“四心”的典型例题[例1]已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足OP＝OA＋λ(AB＋AC)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________心．[解析]由原等式，得OP－OA＝λ(AB＋AC)，即AP＝λ(AB＋AC)，根据平行四边形法则，知AB＋AC是△ABC的中线所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过△ABC的重心．[答案]重[点评]探求动点轨迹经过某点，只要确定其轨迹与三角形中的哪些特殊线段所在直线重合，这可从已知等式出发，利用向量的线性运算法则进行运算得之．[例2]已知△ABC内一点O满足关系OA＋2OB＋3OC＝0，试求S△BOC∶S△COA∶S△AOB之值．[解]延长OB至B1，使BB1＝OB，延长OC至C1，使CC1＝2OC，连接AB1，AC1，B1C1，如图所示，则1OB＝2OB，1OC＝3OC，由条件，得OA＋1OB＋1OC＝0，所以点O是△AB1C1的重心．从而S△B1OC1＝S△C1OA＝S△AOB1＝13S，其中S表示△AB1C1的面积，所以S△COA＝19S，S△AOB＝16S，S△BOC＝12S△B1OC＝12×13S△B1OC1＝118S.于是S△BOC∶S△COA∶S△AOB＝118∶19∶16＝1∶2∶3.[点评]本题条件OA＋2OB＋3OC＝0与三角形的重心性质GA＋GB＋GC＝0十分类似，因此我们通过添加辅助线，构造一个三角形，使点O成为辅助三角形的重心，而三角形的重心与顶点的连线将三角形的面积三等分，从而可求三部分的面积比．[引申推广]已知△ABC内一点O满足关系λ1OA＋λ2OB＋λ3OC＝0，则S△BOC∶S△COA∶S△AOB＝λ1∶λ2∶λ3.[例3]求证：△ABC的垂心H、重心G、外心O三点共线，且|HG|＝2|GO|.[证明]对于△ABC的重心G，易知OG＝OA＋OB＋OC2，对于△ABC的垂心H，设OH＝m(OA＋OB＋OC)，则AH＝AO＋m(OA＋OB＋OC)＝(m－1)OA＋mOB＋mOC.由AH·BC＝0，得[(m－1)OA＋mOB＋mOC](OC－OB)＝0，(m－1)OA·(OC－OB)＋m(OC2－OB2)＝0，因为|OC|＝|OB|，所以(m－1)OA·(OC－OB)＝0.但OA与BC不一定垂直，所以只有当m＝1时，上式恒成立．所以OH＝OA＋OB＋OC，从而OG＝13OH，得垂心H、重心G、外心O三点共线，且|HG|＝2|GO|.[引申推广]重心G与垂心H的关系：HG＝13(HA＋HB＋HC)．[点评]这是著名的欧拉线，提示了三角形的“四心”之间的关系．我们选择恰当的基底向量来表示它们，当然最佳的向量是含顶点A、B、C的向量．[例4]设A1，A2，A3，A4，A5是平面内给定的5个不同点，则使1MA＋2MA＋3MA＋4MA＋5MA＝0成立的点M的个数为()A．0B．1C．5D．10[解析]根据三角形中的“四心”知识，可知在△ABC中满足MA＋MB＋MC＝0的点只有重心一点，利用类比的数学思想，可知满足本题条件的点也只有1个．[答案]B[点评]本题以向量为载体，考查了类比与化归，归纳与猜想等数学思想．本题的详细解答过程如下：对于空间两点A，B来说，满足MA＋MB＝0的点M是线段AB的中点；对于空间三点A，B，C来说，满足MA＋MB＋MC＝0，可认为是先取AB的中点G，再连接CG，在CG上取点M，使MC＝2MG，则M满足条件，且唯一；对于空间四点A，B，C，D来说，满足MA＋MB＋MC＋MD＝0，可先取△ABC的重心G，再连接GD，在GD上取点M，使DM＝3MG，则M满足条件，且唯一，不妨也称为重心G；与此类似，对于空间五点A，B，C，D，E来说，满足MA＋MB＋MC＋MD＋ME＝0，可先取空间四边形ABCD的重心G，再连接GE，在GE上取点M，使EM＝4MG，则M满足条件，且唯一．