高中数学教学论文浅析类比思想在数学教学中的运用

浅析类比思想在数学教学中的运用摘要类比思想是一种重要的思想方法。本文根据数学知识间的相互联系，阐述了类比思想在数学概念教学、解题教学等等方面的应用。类比思想在培养学生创造思维方面也起着重要作用。关键词类比思想创造思维运用在以往的教材中，类比思想在教学过程、解题过程中都经常体现，但是并没有提出这一概念。新教材中，把它作为一个新的独立的章节，把类比思想提高到一个新的高度，是新课标教材的亮点之一。新课程内容的呈现，更加注意了反映数学发展的规律，以及人们的认识规律，体现从具体到抽象、特殊到一般的原则。长期以来，中学数学教学一直强调教学的严谨性，过分渲染逻辑推理的重要性而忽视了生动活泼的合情推理，使人们误认为数学就是一门纯粹的演绎科学。事实上，数学发展史中的每一个重要的发现，除演绎推理外，合情推理也起重要作用，如哥德巴赫猜想、费马大定理、四色问题等的发现。其它学科的一些重大发现也是科学家通过合情推理、提出猜想、假说和假设，再经过演绎推理或实验得到的。严格的数学推理以演绎推理为基础，而数学结论的得出及其证明过程是靠合情推理才得以发现的。因此，我们不仅要培养学生演绎推理能力，而且要培养学生合情推理能力。《标准》要求学生“能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例。”也就是要求学生在获得数学结论时要经历合情推理到演绎推理的过程。合情推理的实质是“发现---猜想---证明”，因而关注合情推理能力的培养实际上就是希望教师能够重视数学知识的产生和发展过程，发展学生的探究和创新精神。开普勒曾说：“我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密。”在中学数学中，由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理被称为类比推理（简称类比）。简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。类比思想既是一种逻辑方法，也是一种科学研究的方法，是最重要的数学思想方法之一，在中学数学中有着广泛的应用。下面就举例说明类比在中学数学教学中的运用。1数学概念教学中的类比思想数学是由概念与命题等内容组成的知识体系。它是一门以抽象思维为主的学科，而概念又是这种思维的语言。因此概念教学是中学数学中至关重要的一项内容，是基础知识和基本技能教学的核心，正确理解概念是学好数学的基础,学好概念是学好数学最重要的一环。一些学生数学之所以差，概念不清往往是最直接的原因，因此抓好概念教学是提高中学数学教学质量的带有根本性意义的一环。如何设计数学概念教学，如何在概念教学中有效地培养和开发学生的思维品质，是我们在教学中经常遇到并必须解决的问题。每一个概念的产生都有丰富的知识背景，舍弃这些背景，直接抛给学生一连串的概念是传统教学模式中司空见惯的做法，这种做法常常使学生感到茫然，丢掉了培养学生概括能力的极好机会。由于概念本身具有的严密性、抽象性和明确规定性，传统教学中往往比较重视培养思维的逻辑性和精确性，在方式上以“告诉”为主让学生“占有”新概念，置学生于被动地位，使思维呈依赖，这不利于创新型人才的培养。“学习最好的途径是自己去发现”。学生如能在教师创设的情景中像数学家那样去“想数学”，“经历”一遍发现、创新的过程，那么在获得概念的同时还能培养他们的创造精神。引入是概念教学的第一步，也是形成概念的基础。概念引入时教师要鼓励学生猜想，即让学生依据已有的材料和知识作出符合一定经验与事实的推测性想象，让学生经历数学家发现新概念的最初阶段。牛顿曾说：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”猜想作为数学想象表现形式的最高层次，属于创造性想象，是推动数学发展的强大动力，因此，在概念引入时培养学生敢于猜想的习惯，是形成数学直觉，发展数学思维，获得数学发现的基本素质，也是培养创造性思维的重要因素。如，在立体几何中异面直线距离的概念，传统的方法是给出异面直线公垂线的概念，然后指出两垂足间的线段长就叫做两条异面直线的距离。教学中可以用类比的思想进行渗透，先让学生回顾一下过去学过的有关距离的概念，如两点之间的距离，点到直线的距离，两平行线之间的距离，引导学生思考这些距离有什么特点，发现共同的特点是最短与垂直。然后，启发学生思索在两条异面直线上是否也存在这样的两点，它们间的距离是最短的？如果存在，应当有什么特征？于是经过共同探索，得出如果这两点的连线段和两条异面直线都垂直，则其长是最短的，并通过实物模型演示确认这样的线段存在，在此基础上，自然地给出异面直线距离的概念。这样做，不仅使学生得到了概括能力的训练，还尝到了数学发现的滋味，认识到距离这个概念的本质属性。又如，以高二双曲线及其标准方程（第一课时）的教学片段为例：在教学中，我们不是紧于给出双曲线的定义，而是先让学生一起回顾前面椭圆的学习过程，自主探究平面内到两定点的距离除了这种之和为常数外，还有其它什么情形？既然我们已经知道椭圆、双曲线都是圆锥曲线，那么我们学生是否可以自己展开想象探求双曲线呢？学生自觉开动脑筋，寻求了多种情况。学生1：求了平面内到两定点的距离之比为常数的点的轨迹。以两个定点F1、F2所在的直线为X轴，其中垂线所在的直线为Y轴，建立起平面直角坐标系。设P（X，Y）记︱F1F2︳=2C，则F1（-C，0），F2（C，0），且aPFPF21则aycxycx2222)()(化简得：0112112222222acayaxaxc当a满足一定条件时，可能是直线，也可能是圆。学生2：求了平面内到两定点的距离之积为常数的点的轨迹。以两个定点F1、F2所在的直线为X轴，其中垂线所在的直线为Y轴，建立起平面直角坐标系。设P（X，Y）记︱F1F2︳=2C，则F1（-C，0），F2（C，0），且aPFPF21则aycxycx2222化简得：axccyx22224222，但不知道是什么曲线的轨迹？学生3：求了平面内到两定点的距离之差为常数的点的轨迹。以两个定点F1、F2所在的直线为X轴，其中垂线所在的直线为Y轴，建立起平面直角坐标系。设P（X，Y）记︱F1F2︳=2C，则F1（-C，0），F2（C，0），且aPFPF221则aycxycx22222化简得：acayaxac22222222，与椭圆方程类似，所以令acb222即：12222byax学生非常高兴。师：同学们利用已学知识解决新问题的热情与能力值得赞赏，尤其学生3已经很好地获得了标准方程，距离之差再加上绝对值，a,c大小讨论就是双曲线了，学生1也很好，我们可以从这个角度还可能得到圆呢，学生2更是一种挑战呢，确实，凭我们目前的知识还无法解决，相信通过大家的努力，这个问题以后会解决的，这种思维能力值得我们重视与培养．有了上述思维的铺垫，然后再探求双曲线的概念，已经是水到渠成了。点评：教学中不急着告诉学生双曲线的概念，而是要发挥学生的主观能动性，运用类比思想培养自主探究学习能力。学生不是一张白纸，即使是一年级的学生也有一定的数学活动经验和知识的积累，更何况是高中生。教师在教学中一定要相信学生，该放手时就放手。在教学中，不应让学生被动的吸取、模仿、记忆和反复练习，而是适时地引导其自主探究来解决问题，从而提高运用知识分析问题、解决问题的能力。2数学解题教学中的类比思想数学类比推理的培养是数学双基培养的一部分，扎实的双基又会更有效地激发类比推理。因此在课堂上实实在在地开展训练，给学生思考的空间和平台，营造类比推理的氛围和情境，学生必定会还你一个惊喜！2.1用类比探索解决数列问题例1在等差数列{an}中，an-an-1=d，即a2-a1=d,a3-a2=d,…，an-an-1=d，将n-1个式子叠加，则an=a1+(n-1)d，这是根据等差数列中“差”的特点，采用了“叠加法”推导出等差数列的通项公式；类似地，我们可以得到：类比1：在等比数列{an},1-nnaa=q，即：12aa=q，23aa=q，…，1-nnaa=q，将n-1个式子叠乘，则有an=a1qn-1这是根据等比数列中的“比”的特点及等差数列中的“叠加法”，类似地得出“叠乘法”继而推导出等比数列的通项公式。类比2：在数列{an}中，a1=2,an+1-an=2n，求{an}的通项公式。分析：注意到a2-a1=2，a3-a2=22，…,an-an-1=2n-1叠加得an-a1=2+22+…+2n-1故有an=2n例2在等差数列{an}中，若a10=0，则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n（n19,n∈N*）成立；类比上述性质，相应地，在等比数列{bn}中，若b9=1，则有等式_________________成立。分析：这是一道选自高二文科数学选修1-2习题A组的题，笔者在批改作业时发现有三分之二的学生不会做，究其原因，主要是学生习惯于收敛思维而不习惯于类比，很多学生只套用已知结论公式而很少会创造性地解题。我们从更一般的角度来分析等差数列{an}，由题设，如果ak=0,那么有a1+a2+…+an=a1+a2+…+a2k-1-n（n2k-1,n∈N*）成立；又如果k+n=p+q，其中k,n,p,q∈N*，对于等差数列{an}，则有ak+an=ap+aq；类比于等比数列{bn}，则有bkbn=bpbq于是我们又可类比得到新的结论：如果bk=1，则有等式b1b2…bn=b1b2…b2k-1-n（n2k-1,n∈N*）成立。结合本题k=9，于是有b1b2…bn=b1b2…b17-n（n17,n∈N*）例3（2004年北京高考题）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列na是等和数列，且21a，公和为5，那么18a的值为，这个数列的前n项和nS的计算公式为.分析：由等和数列的定义，易知212na，32na（n=1，2，…），故318a.当n为偶数时，nSn25；当n为奇数时，2125nSn.评析：这一类问题主要是涉及到出现新知识、新内容时，如何联想到学过的旧知识、解题方法等进行类比，这就要求在平时的学习中，做到对知识的熟练掌握和各知识块之间的融会贯通。2．2几何中的类比思想数学家波利亚曾说：“类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题。”在立体几何知识的学习中，类比思想显得尤为重要，立体几何具有2个突出的特点：一是要依据平面图形的有关性质和采用许多平面几何的类似研究方法；二是空间图形的问题与平面图形的问题构成一个发展的系列。因此，可以巧妙地利用类比由平面图形的性质去猜测空间图形的有关性质，由平面几何知识引发立体几何的有关知识。例5类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想。分析：考虑到直角三角形的两条边互相垂直，我们可以选取有3个面两两垂直的四面体，作为直角三角形的类比对象。解：如图（1）所示，在Rt△ABC中，∠C=90°。设a,b,c分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c2=a2+b2。bac(1)CAB(2)S1S2S3PEFD类似地，在四面体P-DEF中，∠PDF=∠PDE=∠EDF=90°。设S1，S2，S3和S分别表示△PDF，△PDE，△EDF和△PEF的面积（图（2）），相应于图（1）中直角三角形的2条直角边a，b和1条斜边c，图（2）中的四面体有3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S。于是，类比勾股定理的结构，我们猜想S2=S21+S22+S23成立。评析：这是一道典型的运用类比思想解题的题目，用平面图形的某一性质去类比得到空间图形相似的性质。例6（2004年上海春招高考题）在DEF中有余弦定理：DFEEFDFEFDFDEcos2222.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱ABC-111CBA的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明.分析根据类比猜想得出cos21111111111222BBCCAAB