必修二立体几何较难题汇总

1.四面体ABCD四个面的重心分别为E、F、G、H，则四面体EFGH的表面积与四面体ABCD的表面积的比值是（）A)271B)161C)91D)81如图，连接AF、AG并延长与BC、CD相交于M、N，由于F、G分别是三角形的重心，所以M、N分别是BC、CD的中点，且AF：AM=AG：AN=2：3，所以FG：MN=2：3，又MN：BD=1：2，所以FG：BD=1：3，即两个四面体的相似比是1：3，所以两个四面体的表面积的比是1：9；故选C．如图，平面α∥平面β∥平面γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F．已知AC＝15cm，DE＝5cm，AB︰BC＝1︰3，求AB，BC，EF的长设平面α‖β,A、C∈α,B、D∈β直线AB与CD交于S，若AS=18,BS=9,CD=34,则CS=?68/3或68与空间四边形ABCD四个顶点距离相等的平面共有多少个?七个你可以把它想象成一个三棱锥四个顶点各对应一个有四个，两条相对棱对应一个共三组相对棱因此有三个总共有七个如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=。（1）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；（2）求四棱锥P-ABCD的体积解：（1）证明：在中，由于，，，所以故又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，故平面平面。C1D1CA1ABDB1（2）过作交于O，由于平面平面，所以平面因此为四棱锥的高，又是边长为4的等边三角形因此在底面四边形中，，，所以四边形是梯形，在中，斜边边上的高为，此即为梯形的高，所以四边形的面积为故。（2008福建）(6)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为A.63B.265C.155D.105AB.（15）如图，二面角l的大小是60°，线段AB.Bl，AB与l所成的角为30°.则AB与平面所成的角的正弦值是34.19．（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC=BC=21AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD。（1）证明：DC1⊥BC；（2）求二面角A1－BD－C1的大小。【解析】（1）在RtDAC中，ADAC，得：45ADC，同理：1114590ADCCDC，得：1DCDC。又DC1⊥BD，DCBDD，所以1DC平面BCD。而BC平面BCD，所以1DCBC。（2）解法一：（几何法）由11,DCBCCCBCBC面11ACCABCAC。取11AB的中点O，连接1CO，OD。因为1111ACBC，所以111COAB，因为面111ABC面1ABD，所以1CO面1ABD，从而1COBD，又DC1⊥BD，所以BD面1DCO，因为OD平面1DCO，所以BDOD。由BDOD，BD⊥DC1，所以1CDO为二面角A1－BD－C1的平面角。设12AAa，ACBCa，则122aCO，12CDa，在直角△1COD，1COOD，1112COCD，所以130CDO。因此二面角11CBDA的大小为30。DA1B1CABC1OC1D1CA1ABDB1(2007)2、(北京市西城区2012年4月高三抽样测试)下列四个正方体图形中，AB、为正方体的两个顶点，MNP、、分别为其所在棱的中点，能得出//AB平面MNP的图形的序号是（）A.①、③B.①、④C.②、③D.②、④答案：B3、(吉林省吉林市2012届上期末)三棱锥P—ABC的高PO=8，AC=BC=3，∠ACB=30°，M、N分别在BC和PO上，且CM=x，PN=2CM，试问下面的四个图像中哪个图像大致描绘了三棱锥N—AMC的体积V与x的变化关系（)3,0(x）（）答案：AABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证:AP∥GH.平面α过正方形ABCD-A1B1C1D1的三个顶点B,D,A1,α与底面A1B1C1D1的交线为L,则L与B1D1的位置关系？如图，正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP=DQ。求证：PQ∥面BCE4下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则四个点不共面的一个图是()．空间三条直线，其中一条和其他两条都相交，那这三条直线中的两条能确定的平面个数是多少1、若三条直线只有一个交点，则可以确定一个或三个平面；2、若这三条直线有两个不同的交点，则可以确定一个或三个平面。3、若这三条直线有三个不同的交点，则可确定以一个平面。答案：一个或三个线面平行的判定定理证明线面平行的判定定理是：若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。线面平行的定义是：若直线与平面没有公共点，则称此直线与该平面平行。证明：设直线a‖直线b，a不在平面α内，b在平面α内。用反证法证明a‖α。假设直线a与平面α不平行，则由于a不在平面α内，有a与α相交，设a∩α=A。则点A不在直线b上，否则a∩b=A与a‖b矛盾。过点A在平面α内作直线c‖b，由a‖b得a‖c。而A∈a，且A∈c，即a∩c=A，这与a‖c相矛盾。于是假设错误，故原命题正确。（反证法）例题2从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条，使得其中任意两条线段所在直线都是异面直线，求k的最大值．解答考察如图所示的正方体上的四条线段AC，BC1，D1B1，A1D，它们所在直线两两都是异面直线．又若有5条或5条以上两两异面的直线，则它们的端点相异且个数不少于10，与正方体只有8个顶点矛盾．故K的最大值是4．练习1在正方体的8个顶点、12条棱的中点、6个面的中心及正方体的中心共DB1BD1C1A1CA计27个点中，问共线的三点组的个数是多少解答两端点都为顶点的共线三点组共有87282个；两端点都为面的中心共线三点组共有6132个；两端点都为各棱中点的共线三点组共有123182个，且没有别的类型的共线三点组，所以总共有2831849个．例题3在单位正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P使得AP+D1P最短，求AP+D1P的最小值．解答将等腰直角三角形AA1B沿A1B折起至1AAB，使三角形1AAB与四边形A1BCD1共面，联结1AD，则1AD的长即为AP+D1P的最小值，所以，220111211cos13522AD练习3已知单位正方体ABCD-A1B1C1D1的对棱BB1、D1上有两个动点E、F，BE=D1F=（102）．设EF与AB所成的角为，与BC所成的角为，求的最小值．解答当12时，2．不难证明()f是单调减函数．因此的最小值为2．例十七、（2000年全国联赛一试）一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是．分析：由正四面体的图象的对称性可知，内切球的球心必为正四面体的中心，球与各棱相切，其切点必为各棱中点，考查三组对棱中点的连线交于一点，即为内切球的球心，所以每组对棱间的距离即为内切球的直径，于是有：222ra∴334223424Vaa练习：同样可用体积法求出棱长为a的正四面体的外接球和内切球的半径．分析可知，正四面体的内切球与外接球球心相同，将球心与正四面体的个顶点相连，可将正四面体划分为四个全等的正三棱锥，于是可知内切球的半径即为正四面体高度的四分之一，外接球半径即为高度的四分之三．故只要求出正四面体的高度即可．ROEDCAPrB又：222326333haaaa，所以，66,412Rara．例二十三、（1991年全国联赛一试）设正三棱锥P—ABC的高为PO，M为PO的中点，过AM作与棱BC平行的平面，将三棱锥截为上、下两个部分，试求此两部分的体积比．分析：取BC的中点D，连接PD交AM于G，设所作的平行于BC的平面交平面PBC于EF，由直线与平面平行的性质定理得：EF∥BC，连接AE，AF，则平面AEF为合乎要求的截面．作OH∥PG，交AG于点H，则：OH=PG．51112BCPDPGGDGDGDADEFPGPGPGOHAO；故：2425APEFPEFAPBCPBCVSEFVSBC；于是：421APEFAEFBCVV．FEOMDCBAPHG8、如果空间三条直线a，b，c两两成异面直线，那么与a，b，c都相交的直线有(A)0条(B)1条(C)多于1的有限条(D)无穷多条解：在a、b、c上取三条线段AB、CC、AD，作一个平行六面体ABCD—ABCD，在c上取线段AD上一点P，过a、P作一个平面，与DD交于Q、与CC交于R，则QR∥a，于是PR不与a平行，但PR与a共面．故PR与a相交．由于可以取无穷多个点P．故选D．3.设四棱锥PABCD的底面不是平行四边形,用平面去截此四棱锥,使得截面四边形是平行四边形,则这样的平面()(A)不存在(B)只有1个(C)恰有4个(D)有无数多个例一、（1991年全国联赛一试）由一个正方体的三个顶点所能构成的正三角形的个数为（A）4；（B）8；（C）12；（D）24．分析：一个正方体一共有8个顶点，根据正方体的结构特征可知，构成正三角形的边必须是正方体的面对角线．考虑正方体的12条面对角线，从中任取一条可与其他面对角线构成两个等边三角形，即每一条边要在构成的等边三角形中出现两次，故所有边共出现112224C次，而每一个三角形由三边构成，故一共可构成的等边三角形个数为2483个．例1在桌面上放着四个两两相切、半径均为r的球，试确定其顶端离桌面的高度；并求夹在这四个球所组成图形空隙中与四个球均相切的小球的半径．B‘C’D’A‘BCDASQPRacb(2012重庆)9.设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a，且长为a的棱与长为2的棱异面，则a的取值范围是（A）A.(0,2)B.(0,3)C.(1,2)D.(1,3)（2010全国）(6)直三棱柱111ABCABC中，若90BAC，1ABACAA，则异面直线1BA与1AC所成的角等于（C）(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°6.C【命题意图】本小题主要考查直三棱柱111ABCABC的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法.【解析】延长CA到D，使得ADAC，则11ADAC为平行四边形，1DAB就是异面直线1BA与1AC所成的角，又三角形1ADB为等边三角形，0160DAB过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作直线a，使a与棱AB,AD,AA1所在直线所成的角都相等，这样的直线a可以作（D）A)1条B）2条C）3条D）4条(2010重庆)（9）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点(D)（A）只有1个（B）恰有3个（C）恰有4个（D）有无穷多个11．如图，M是正方体1111ABCDABCD的棱1DD的中点，给出下列命题①过M点有且只有一条直线与直线AB、11BC都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB、11BC都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB、11BC都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB、11BC都平行.其中真命题是：A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③3、如图：在正方体1111DCBAABCD中，EF分别是棱BC与11DC的中点.求证：EF//平面11BBDD(方法两种)4、如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，Q是PA的中点.求证：PC//平面BDQ（隐含中点的运用）ABCDA1B1C1D1EF1A1B1C1DADCBMPADBCQ（20）（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，∠ABC=120°。E为