高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结

圆锥曲线1、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆12222byax中，以00(,)Pxy为中点的弦所在直线的斜率k=－0202yaxb；在双曲线22221xyab中，以00(,)Pxy为中点的弦所在直线的斜率k=0202yaxb；在抛物线22(0)ypxp中，以00(,)Pxy为中点的弦所在直线的斜率k=0py。提醒：因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0！2．了解下列结论（1）双曲线12222byax的渐近线方程为02222byax；（2）以xaby为渐近线（即与双曲线12222byax共渐近线）的双曲线方程为(2222byax为参数，≠0）。（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为221mxny；（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为22ba，焦准距（焦点到相应准线的距离）为2bc，抛物线的通径为2p，焦准距为p；（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；（6）若抛物线22(0)ypxp的焦点弦为AB，1122(,),(,)AxyBxy，则①12||ABxxp；②221212,4pxxyyp（7）若OA、OB是过抛物线22(0)ypxp顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点(2,0)p3、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：（1）在ABC中，给出12ADABAC,等于已知AD是ABC中BC边的中线;（2）在ABC中，给出222OCOBOA，等于已知O是ABC的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（3）在ABC中，给出0OCOBOA，等于已知O是ABC的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（4）在ABC中，给出OAOCOCOBOBOA，等于已知O是ABC的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（5）给出以下情形之一：①ACAB//；②存在实数,ABAC使；③若存在实数,,1,OCOAOB且使,等于已知CBA,,三点共线.（6）给出0MBMA,等于已知MBMA,即AMB是直角,给出0mMBMA,等于已知AMB是钝角,给出0mMBMA,等于已知AMB是锐角,（8）给出MPMBMBMAMA,等于已知MP是AMB的平分线/（9）在平行四边形ABCD中，给出0)()(ADABADAB，等于已知ABCD是菱形;（10）在平行四边形ABCD中，给出||||ABADABAD，等于已知ABCD是矩形;FAPHBQ4.圆锥曲线中线段的最值问题：例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点P的坐标为______________(2)抛物线C:y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为。分析：（1）A在抛物线外，如图，连PF，则PFPH，因而易发现，当A、P、F三点共线时，距离和最小。（2）B在抛物线内，如图，作QR⊥l交于R，则当B、Q、R三点共线时，距离和最小。解：（1）（2，2）（2）（1,41）1、已知椭圆C1的方程为1422yx，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点。(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l：2kxy与椭圆C1及双曲线C2恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足6OBOA(其中O为原点)，求k的取值范围。解：（Ⅰ）设双曲线C2的方程为12222byax，则.1,31422222bcbaa得再由故C2的方程为221.3xy（II）将.0428)41(1422222kxxkyxkxy得代入由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得,0)14(16)41(16)28(22221kkk即21.4k①0926)31(1322222kxxkyxkxy得代入将.由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B得2222222130,11.3(62)36(13)36(1)0.kkkkkk即且22629(,),(,),,131366,(2)(2)AABBABABABABABABABABkAxyBxyxxxxkkOAOBxxyyxxyyxxkxkx设则由得而222222(1)2()2962(1)22131337.31ABABkxxkxxkkkkkkk22223715136,0.3131kkkk于是即解此不等式得22131.153kk或③由①、②、③得.11513314122kk或故k的取值范围为13311313(1,)(,)(,)(,1)153223152.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y=-3上，M点满足MB//OA，MA•AB=MB•BA，M点的轨迹为曲线C。（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。(Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以MA=（-x,-1-y）,MB=(0,-3-y),AB=(x,-2).再由愿意得知（MA+MB）•AB=0,即（-x,-4-2y）•(x,-2)=0.所以曲线C的方程式为y=14x2-2.(Ⅱ)设P(x0,y0)为曲线C：y=14x2-2上一点，因为y'=12x,所以l的斜率为12x0因此直线l的方程为0001()2yyxxx，即200220xxyyx。则O点到l的距离20020|2|4yxdx.又200124yx，所以2020220014142(4)2,244xdxxx当20x=0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2.3.设双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于()4.过椭圆22221xyab(0ab)的左焦点1F作x轴的垂线交椭圆于点P，2F为右焦点，若1260FPF，则椭圆的离心率为5.已知双曲线)0(12222bbyx的左、右焦点分别是1F、2F，其一条渐近线方程为xy，点),3(0yP在双曲线上.则1PF·2PF＝()06.已知直线20ykxk与抛物线2:8Cyx相交于AB、两点，F为C的焦点，若||2||FAFB，则k()7.设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为（2，2），则直线l的方程为_____________.8.椭圆22192xy的焦点为12,FF，点P在椭圆上，若1||4PF，则2||PF；12FPF的大小为.