结构力学-位移法

第9章位移法●本章教学基本要求：掌握位移法的基本原理和方法；熟练掌握用典型方程法计算超静定刚架在荷载作用下的内力；会用典型方程法计算超静定结构在支座移动和温度变化时的内力；掌握用直接平衡法计算超静定刚架的内力●本章教学内容的重点：位移法的基本未知量；杆件的转角位移方程；用典型方程法和直接平衡法建立位移法方程；用典型方程法计算超静定结构在荷载作用下的内力。●本章教学内容的难点：对位移法方程的物理意义以及方程中系数和自由项的物理意义的正确理解和确定。●本章内容简介:9.1位移法的基本概念9.2等截面直杆的转角位移方程9.3位移法的基本未知量9.4位移法的基本结构及位移法方程9.5用典型方程法计算超静定结构在荷载作用下的内力9.6用典型方程法计算超静定结构在支座移动和温度变化时的内力9.7用直接平衡法计算超静定结构的内力*9.8混合法9.1位移法基本概念力法和位移法是分析超静定结构的两种基本方法。力法于十九世纪末开始应用，位移法建于上世纪初。结构：外因→内力~位移——恒具有一定关系力法——以多余未知力为基本未知量，由位移条件建立力法方程，求出内力后再计算位移。位移法——以某些结点位移为基本未知量，由平衡条件建立位移法方程，求出位移后再计算内力。一、解决超静定问题的两种基本方法的对比力法适用性广泛，解题灵活性较大（可选用各种各样的基本结构）。位移法在解题上比较规范，具有通用性，因而计算机易于实现。位移法可分为：手算——位移法电算——矩阵位移法2.基本未知量不同，这是力法与位移法最基本的区别。力法：以多余未知力为基本未知量位移法：以结点位移为基本未知量1.优缺点3.适用范围不同力法：超静定结构位移法：超静定结构，也可用于静定结构。一般用于结点少而杆件较多的刚架。例：二、用位移法计算超静定结构的思路例如：用位移法求解如图所示的刚架。1.为了使问题简化，作如下计算假定：1）在受弯杆件中，略去杆件的轴向变形和剪切变形的影响。2）假定受弯杆两端之间的距离保持不变。由此可知，结点1只有转角Z1，而无线位移。因节点1为刚节点，汇交于结点1的两杆杆端也应有同样的转角Z1。忽略轴向变形＝＋这两个结构都可以用力法求解（1）用力法算出单跨超静定梁在杆端发生各种位移时及荷载等因素作用下的内力（2）确定以上结构的哪些位移作为基本未知量（3）如何求出这些位移?ABCPθAθA荷载效应包括：内力效应：M、Q、N；位移效应：θAABCPθAθA附加刚臂Step1：附加刚臂限制结点位移，荷载作用下附加刚臂上产生附加力矩。Step2：对结点施加产生相应的角位移，以实现结点位移状态的一致性。产生相应的附加约束反力。ABC实现位移状态可分两步完成Step3：叠加两步作用效应，约束结构与原结构的荷载特征及位移特征完全一致，则其内力状态也完全相等；由于原结构没有附加刚臂：因此附加约束上的附加内力应等于0，按此可列出求解结点位移的基本方程。ABCPθAθAStep1：附加刚臂限制结点位移，荷载作用下附加刚臂上产生附加力矩。Step2：对结点施加产生相应的角位移，以实现结点位移状态的一致性，产生相应的附加约束反力。ABC使结点1正好转动一个转角Z1时，使所加的附加约束不再起作用，其数学表达式为：R1=0上式意义：外荷载和实际应有的转角Z1共同作用于基本结构时，附加约束反力矩为零（刚臂不起作用）。根据叠加原理，共同作用等于单独作用的叠加：R1＝R11＋R1P=0（a)R11为强制使结点发生转角Z1时所产生的约束反力矩。R1P为荷载作用下所产生的约束反力矩。R11=r11Z1Z1=1为单位位移（转角Z1＝1）产生的约束反力矩。上式的物理意义是，基本结构由于转角Z1和外荷载FP共同作用，在附加刚臂1处所产生的约束反力矩总和等于零（使a,b两图叠加后附加刚臂不起作用）。由此方程可得：01111PRZr1111rRZP可见，只要有了系数r11及自由项R1P，Z1值很容易求得。为了将式(a)写成未知量Z1的显式，将R11写为：式（a）变为：11111ZrR11r为了确定上式中的R1P和r11，可先用力法分别求出各单跨超静定梁在梁端、柱顶1处转动Z1=1时产生的弯矩图及外荷载作用下产生的弯矩图。pl81求系数和自由项1Mr11Z1=1lEIr7111）求r11和M1P1AR1PP8Pl8PlMP图2）求R1P和MP现取图、MP图中的结点1为隔离体，由力矩平衡方程，求出：1M01MlEIr711PlRP811将这些结果代入位移法基本方程中解方程，即得EIPlZ5621最后，根据叠加原理，即可求出最后弯矩图。11ZMMMP7.解方程，画内力图1.在原结构产生位移的结点上设置附加约束，使结点固定，从而得到基本结构，然后加上原有的外荷载；２.人为地迫使原先被“固定”的结点恢复到结构原有的位移。通过上述两个步骤，使基本结构与原结构的受力和变形完全相同，从而可以通过基本结构来计算原结构的内力和变形。综上所述，位移法的基本思路是：PM=R1PR11=r11Z1=-R1P固定节点使之不动（a）（b）释放节点，使节点发生实际位移9.2等截面直杆的转角位移方程应用位移法需要解决的首要问题就是，要确定杆件的杆端内力与杆端位移及荷载之间的函数关系(杆件的转角位移方程)。利用力法的计算结果，由叠加原理导出三种常用等截面直杆的转角位移方程。一、杆端内力及杆端位移的正负号规定1、杆端内力的正负号规定杆端弯矩：对杆端而言，以顺时针方向为正，反之为负。对结点或支座而言，则以逆时针方向为正，反之为负。杆端剪力和杆端轴力的正负号规定，仍与前面规定相同。ABABMMBAABEI,l弦转角B'AB2、杆端位移的正负号规定ABABMMBAABEI,l弦转角B'AB1）杆端转角（角位移）:以顺时针为正，反之为负。2）线位移以杆的一端相对于另一端产生顺时针方向转动的线位移为正，反之为负。例如，图中ΔAB为正。二、单跨超静定梁的形常数和载常数位移法中，常用到图示三种基本的等截面单跨超静定梁，它们在荷载、支座移动或温度变化作用下的内力可通过力法求得。a)两端固定b)一端固定一端铰支c)一端固定一端定向支承由荷载或温度变化引起的杆端内力称为载常数。其中的杆端弯矩也常称为固端弯矩，用和表示；杆端剪力也常称为固端剪力，用和表示。常见荷载和温度作用下的载常数列入表中(书P5)。FABMFBAMFABFQFBAFQ由杆端单位位移引起的杆端内力称为形常数，见书P279，7-7式。表中引入记号i=EI/l，称为杆件的线刚度。a)两端固定b)一端固定一端铰支c)一端固定一端定向支承三、转角位移方程1、两端固定梁由叠加原理可得：FBABABAFABBAABMliiiMMliiiM642624BAQFABQFABMMBABABqABPFEI=/lAlMB1ABABP+++t1t2Ai4Bi2liAB/6Ai2Bi4liAB/6FABMFBAM固端弯矩2、一端固定另一端铰支梁AMAqFPBAMABFQABlFQBAEIB(非独立角位移)1B033BAFABAABMMliiM3、一端固定另一端定向支承梁ABMlAAMqPFAEIABQFB(非独立线位移)BB1FBABABAFABBAABMiiMMiiM1）两端固定梁2）一端固定另一端铰支梁3）一端固定另一端定向支承梁应用以上三组转角位移方程，即可求出三种基本的单跨超静定梁的杆端弯矩表达式，汇总如下：FBABABAFABBAABMliiiMMliiiM642624033BAFABAABMMliiMFBABABAFABBAABMiiMMiiM用位移法求解超静定结构例：试用位移法-直接平衡法计算图示连续梁结构，并绘出弯矩图。解：1)基本未知量为刚结点B点的角位移Z1，基本体系如图（B）所示。2)用转角位移方程写出个杆端内力如下（其中）3)从原结构中取出图c隔离体，由平衡条件建立方程并求解。由图c的平衡条件：得：4)回代入2）得各杆端弯矩，并绘最后弯矩图。9.3位移法的基本未知量一、位移法的基本未知量据位移法思路：先锁住节点不动（角位移或线位移），再放松节点使之发生实际位移，最后叠加。所以，位移法选取结点的独立位移（独立角位移和独立线位移）作为其基本未知量，用广义位移Zi表示二、确定位移法的基本未知量1、基本未知量的总数目位移法基本未知量的总数目（记作n）等于结点的独立角位移数（记作ny）与独立线位移数（记作nl）之和，即lynnn2、结点独立角位移数结点独立角位移数（ny）一般等于刚结点数加上组合结点（半铰结点）数。但须注意，1）当有阶形杆截面改变处的转角或抗转动弹性支座的转角时，应一并计入在内作为基本未知量。2）至于结构固定支座或定向支座处，因其转角等于零或为已知的支座位移值；铰结点或铰支座处，因其转角不独立（也没必要），所以都不作为位移法的基本未知量。FPADE21D11BBFGGCCBADE1ZBZ23ZZ4CGADEBCGZ65ZFFCCCCnY=4FPADE21D11BBFGGCCBADE1ZBZ23ZZ4CGADEBCGZ65ZFFCCCC3、结点独立线位移数(1)先简化结构1）除特殊指明外，梁与刚架一般不考虑由于轴向变形引起的杆件的伸缩(假定1)2）不考虑由于弯曲变形而引起的杆件两端的接近(假定2)因此，可认为这样的受弯直杆两端之间的距离在变形后仍保持不变，且结点线位移的弧线可用垂直于杆件的切线来代替把刚架所有刚节点、固定支座、抗转动弹性支座均改为铰结（及所有节点或支座中抗转动约束铰化），如果原体系有节点线位移则铰化后将变为几何可变体系，通过增设链杆使此可变体系变为几何不变体系（具体问题可根据下述“最终目的”增设）需要增设的最少链杆数即为原结构独立节点线位移数目。“最终目的”:是能够解出结构内力。一般增设目标：是找出所有节点中可能发生线位移的节点，通过增设支杆使之沿此方向不动，即增设支杆后使所有节点在任意方向上都没有线位移(2)节点线位移确定方法——铰化结点，增设链杆624lynnnEDABFGCCBADEFGFPADE21D11BBFGGCCBADE1ZBZ23ZZ4CGADEBCGZ65ZFFCCCC3、两点说明说明1：当刚架中有需要考虑轴向变形（）的二力杆时则考虑二力杆的轴向变形。EA例如：下图结构要求考虑水平直杆的轴向变形，EAEAEAn=ny+nl=2+4=6EI=常数,EA=常数基本结构说明2：当刚架中有刚性杆时()的情况1)刚性杆两端的刚结点转角，可不作为基本未知量。因为若该杆两端的线位移确定了，则杆端的转角也就随之确定；2)若刚性杆为竖直柱，则与基础相连的刚性柱可视为地基扩大的刚片处理(即：对其它相连杆件的约束作用相当于固定支座或固定铰支座)。3)刚性杆与基础固结处以及与其他刚性杆刚结处，在“铰化结点”时此类结点均不改为铰结，以反映刚片无任何变形的特点。EI综上所述，对于有刚性杆的刚架:1）ny等于全为弹性杆汇交的刚结点数与组合结点数之和2）nl等于使仅将弹性杆端改为铰结的体系成为几何不变所需增设的最少链杆数。n=ny+nl=2+1=32ZZ10=∞EIEI=∞0EI=∞00=∞EI3Z123465①a)原结构及其基本未知量b)“铰化结点，增设链杆”例1、求图示结构的超静定次数和位移法基本未知量数目分别为（）（A）4；3（B）4；4（C）5；3（D）5；4三、求位移法基本未知量举例n=ny+nl=0+1=1(若:EI1=∞)(若:EI1≠∞)n=ny+nl=2+1=3基本结构例2：n=ny+nl=7+3=10基本结构例3：节点任意方向的线位移都作为基本未知量n=ny+nl=4+2=6基本结构组合结点刚架有组合结点例4：刚架有内力静定的杆件ABCDEABCDE基本结构n=ny+nl=2+1=3“铰化节点、增设链杆”根据“最终目标”施加链杆，不再是变为“几何不变体系”这个一般目标。E点