工程结构可靠性理论与应用(习题及答案)

1《工程结构可靠性理论与应用》习题4.1某地区年最大风压实测值见教材表3-3。（1）用K-S检验法对年最大风压分布进行假设检验，证明该地区年最大风压可用极值I型来拟合，并写出相应的分布函数；（2）试求该地区设计基准期T＝50年的最大风压的统计特征（统计参数和分布函数）。解：（1）列出年最大风压实测值表，见表1。表1某地年最大标准风压（kgf/m2）实测值（25年）年份195119521953195419551956195719581959风压11.1413.8114.3143.6732.2937.4421.4221.4223.96年份196019611962196319641965196619671968风压22.2531.4421.8319.8016.0414.8213.8120.4220.20年份1969197019711972197319741975风压19.8011.8919.8016.0412.677.9810.12（2）对荷载进行统计分析，依据该地区25年实测最大风压力绘制计统计频率分布直方图，为偏态，所以初步判断年最大风压力服从极值I型分布，试用极值I型分布拟合。已知极值I型分布函数()expexpIxFxa（3）参数估计子样平均数：)(2512521XXXX=1(11.1413.8110.12)19.9325子样标准差：12222111.1419.9913.8119.9910.1219.998.6224〔（）（）（）〕＝在)(XM，)(X，未知情况下，分别用上述估计值)(ˆxM＝19.93、)(ˆX＝8.62来近似代替，计算未知参数ua,的估计值。()0.5772Mxaax2826.1)(ˆ()8.621ˆ1.28261.28260.15Xa＝1ˆ垐()0.577219.930.577216.080.15MXa于是可以得到该地区年最大风压可以用1()expexp0.15(16.08)Fxx来拟合。2（4）假设检验假设H0：该地区年最大风压服从极值I型分布，即其分布函数为()expexp0.15(16.08)IFxx其中15.01a，16.08。2）将X的经验分布函数)(xFn（统计量）与假设的X的分布函数)(xF进行比较，使用统计量nnn()()()maxmaxxxDFxFxDx，其中nn()()()DxFxFx＝，来度量抽得的子样与要检验的假设之间的差异，数量大就表示差异大。为便于计算nD的观测值nD，列表计算n()Dx。见表2。表2子样检验差异表风压值ix频数iv累计频数iv假设分布值)(ixF经验分布值n()iFxn()iDx7.98110.03440.040.005610.12120.08670.080.006711.14130.12270.120.002711.89140.15340.160.006612.67150.18870.200.011313.81270.24520.280.034814.31180.27140.320.048614.82190.29880.360.061216.042110.36570.440.074319.84150.56420.600.035820.21160.58330.640.056720.41170.59270.680.087321.421180.63830.720.081721.831190.65570.760.104322.251200.67280.800.127223.691210.72660.840.113431.441220.90500.880.0250335.291230.94550.920.025537.441240.96020.960.000243.671250.98421.000.0158表中()expexp0.15(16.08)iFxxn1()()iiFxvnnn()()()iiDxFxFx＝从表2可见：nn1()()maxiiinDFxFx0.12723）给显著水平05.0a，求出临界值n,0.05D。当n足够大时，我们可以认为nnD的分布近似于)(Q。给定05.0a，临界值n,0.05D即满足nn,0.05()0.05PnDDnn,0.05n,0.05()0.95()PnDDQD查教材附表Ⅲn,0.05D＝1.36nnD＝0.645n,0.05D=1.36，故接受H0，即认为该地区年最大风压服从极值I型分布，其分布函数为：()expexp0.15(16.08)IFxx15.01a，16.08u（5）求该地区设计基准期T＝50年，最大风压的统计特征值。不考虑风向时：50KKWTWTKK0.3591.012()[()]exp[exp()]exp[exp()]0.1670.167mxWxWFxFxWW由此得到：WTK1.11W，WT0.19考虑风向时：WTWT()[()]mFxFx＝50KK0.323exp[exp()]0.151xWW＝KK0.910exp[exp()]0.150xWW由此得到：4WTK0.998W，WT0.19由于WTK0.998WKW所以规范规定的风荷载标准值KW即相当于设计基准使用为50年的考虑了风作用方向的最大风荷载TW概率分布的平均值。4.2求钢筋混凝土轴心受压构件的抗力统计参数。已知C30混凝土2ck17.5N/mmf，fck1.41，cf0.1920MnSi钢筋2yk340N/mmf，fyk1.14，yf0.07截面尺寸k300mmb，k500mmh，bhkk1.0，bh0.02配筋率＝0.015，稳定系数0.1，抗力表达式PcySRfbhfA钢筋截面积：As'k1.0，As'0.03计算模式：Pk1.0，Pk0.05解：计算公式为：PPPagg()RKRKRbhRA，统计参数为：RPRabhRgAg＝1.4117.5300500+1.143400.0151300500＝4573350N令RggKRaaK1.143400.0150.2361.4117.5kRCkR22222222222RabhRgAg2RP22()0.190.020.020.236(0.070.03)(1)(10.236)CC＝0.0248得：RRKPRPKKKRR1.3522RKPRP＝=0.1654.3已知极限状态方程Z=g(R,S)=R-S=0，R=100，S=50，＝R0.12，＝S0.15，试求下列情况下。5（1）R、S均服从正态分布；（2）R服从对数正态分布，S服从极值I型分布。解：（1）当R、S均服从正态分布时：R=100，S=50，＝R0.12，＝S0.15RRRu＝=12，SSSu＝＝7.5得zR22zRSEuuu＝＝3.53（2）R服从对数正态分布，S服从极值I型分布时：1）由于R服从对数正态分布，首先对抗力R进行当量正态化：令*R的初值为其平均值，RlnR1lnRRu＝（）＝R2R1lnln1uRR（）=100(1+4.59802153-4.60517019)＝99.2852RlnRRln(1)RR＝＝100)12.01ln(2＝11.957132）S服从极值I型分布，对荷载S当量化：令S的初始值为其平均值S6/a＝/5.76＝5.848s0.577uua＝50-0.5775.848＝46.6257848.51)(1uSay（50-46.6257）＝0.57701S()exp[exp()]exp[exp(0.57701)]exp[0.561575]0.5703FSy＝S11()exp()exp[exp()]exp(0.57703)exp[exp(0.57703)]5.848Syya＝5703.0561575.0848.51＝0.0547651SSS()/()FSS＝〔〕＝054765.0/5703.01〕〔＝054765.0177.0）（6＝054765.03927417.0054765.0212177.02e＝7.171401SSS[()]SFS＝＝'1SSS[()]uFS＝50-0.1777.1714＝48.73066以R的统计参数R、R代替R的统计参数R、R；并以S的统计参数S、S代替Su、S，计算得可靠度为RSz22zRSuuu＝＝2217140.795713.1173066.48285.99＝3.6264.4已知极限状态方程R-G-L=0R——抗力，对数正态分布，Rk1.13R，R＝0.1G——恒载，正态分布，Gk1.06G，G＝0.07L——活载，极值I型，Lk0.7L，L＝0.288设KK0.1LG＝及2，目标可靠度指标＝3.5，试求相应的设计分项系数。解：（1）RRRu=0.113KR，GGGu=0.0742KG，LLLu=0.2016KL＝3.5，1-f(3.5)P=0.9997674（2）极限状态方程为g=R-G-L=0，1gR，1gG，1gL（3）R为对数正态分布：2Rln(1)k＝0.00995R1exp(3.50.009950.50.00995)0.1＝＝2.9820G为正态分布：G3.5＝L为极值Ⅰ型分布：L{ln[ln(0.9997674)]0.5772}6.0731.2825＝（4）RR2.98200.13.5u＝0.0852RGGGu=0.0742KG7（5）当KK0.1LG＝时LK6.0730.020163.5G＝0.03498KG由＝3.5=RGL222RKK(0.0852)(0.0742)(0.03498)uuuuGG得KK1.52RGRcos＝K222KKK0.08521.131.52(0.14634)(0.0742)(0.03498)GGGG=-0.87G0.0742cos0.440.1678L0.03498cos0.210.1678得R＝1.13KR-3.50.87230.08521.13KR＝0.836KRG＝1.06KG+3.50.44230.0742KG＝1.175KGL＝0.7KL+3.50.20850.3498KL＝0.9553KL因此，当KK0.1LG＝时K/GGG＝＝1.18LK/LL＝＝0.96RK/RR＝＝1.20（6）当KK2LG＝时LK6.0730.40323.5G=0.6996KG由＝3.5=RGL222RKK(0.0852)(0.0742)(0.6996)uuuuGG得KK3.744RGRcos＝K222KKK0.08521.133.744(0.3605)(0.0742)(0.6996)GGGG=-0.468G0.0742cos0.090.7905L0.6996cos0.890.7905得R＝1.13KR-3.50.45600.08521.13KR＝0.976KRG＝1.06KG+3.50.0938660.0742KG＝1.084KGL＝0.7KL+3.5