基变换与坐标变换

§6.3基变换与坐标变换一、基变换公式与过渡矩阵问题:在n维线性空间V中,任意n个线性无关的向量都可以作为V的一组基.对于不同的基,同一个向量的坐标是不同的.那么,同一个向量在不同的基下的坐标有什么关系?换句话说,随着基的改变,向量的坐标如何改变?nnnnnnnnnnppppppppp22112222112212211111设1,2,···,n及1,2,···,n是n维线性空间Vn的两个基,且有(1)称公式(1)为基变换公式.由于公式(1)等价于,2121222121211121nnnnnnnnppppppppp,2121nTnP即基变换公式或在基变换公式中,矩阵P称为由基1,2,···,n到基1,2,···,n的过渡矩阵,过渡矩阵P是可逆的.二、坐标变换公式定理1:设n维线性空间Vn中的元素,在基1,2,···,n下的坐标为:(x1,x2,···,xn)T,在基1,2,···,n下的坐标为:(x1,x2,···,xn)T,若两个基满足关系式:(1,2,···,n)=(1,2,···,n)P.(1,2,···,n)=(1,2,···,n)P笔记:(1,2,···,n)=(1,2,···,n)P-1则有坐标变换公式:,2121nnxxxPxxx.21121nnxxxPxxx或证明:因为nnxxx2121,,,nnxxx2121,,,.,,,,,,21212121nnnnxxxPxxx及(1,2,···,n)=(1,2,···,n)P,所以.2121nnxxxPxxx.21121nnxxxPxxx由于矩阵P可逆,所以即例1:在P[x]3中取两个基:1=x3+2x2–x,2=x3–x2+x+1,3=–x3+2x2+x+1,4=–x3–x2+1,及1=2x3+x2+1,2=x2+2x+2,3=–2x3+x2+x+2,4=x3+3x2+x+2,求坐标变换公式.解:将1,2,3,4及1,2,3,4都用(x3,x2,x,1)表示,得(1,2,3,4)=(x3,x2,x,1)A,(1,2,3,4)=(x3,x2,x,1)B.,2221112031111202,1110011112121111BA其中.432114321xxxxABxxxx故坐标变换公式为(1,2,3,4)=(1,2,3,4)A-1B.得)(AB11102221011111201212311111111202~初等行变换11111000100001000011001011100001用初等变换计算B-1A:ABE1.111110000011111043214321xxxxxxxx所以10,0121,212112121xx例2:坐标变换的几何意义.设.211,1121及为线性空间V=R2的两个基.则在基1,2下的坐标为:又设12112121111121yy由坐标变换公式可知,.2121即在基1,2下的坐标为:xyo12121212121三、小结1.基变换公式nnnnnnnnnnppppppppp22112222112212211111Pnn,,,,,,21212.坐标变换公式或nnxxxPxxx2121.21121nnxxxPxxx思考题证明x3,x3+x,x2+1,x+1是P[x]3的一个基,并求多项式x2+2x+3在这个基下的坐标.思考题解答令k1x3+k2(x3+x)+k3(x2+1)+k4(x+1)=0,即(k1+k2)x3+k3x2+(k2+k4)x+(k3+k4)=0.得,00004342321kkkkkkk即k1=k2=k3=k4=0.故x3,x3+x,x2+1,x+1线性无关,是P[x]3的一个基.再令a1x3+a2(x3+x)+a3(x2+1)+a4(x+1)=x2+2x+3,,32104342321aaaaaaa.21004321aaaa解之可得则故x2+2x+3在这个基下的坐标为:(0,0,1,2)T.