线性空间的维数-基与坐标

§6.2线性空间的维数、基与坐标一、线性空间的基与维数已知:在Rn中,线性无关的向量组最多由n个向量组成,而任意n+1个向量都是线性相关的.问题1:在线性空间中是否也可以定义线性无关的概念?问题2:线性空间的一个重要特征——在线性空间V中,最多能有多少线性无关的向量?定义:设V为线性空间,对1,2,···,mV,如果存在不全为零的数k1,k2,···,kmR,使k11+k22+···+kmm=0则称1,2,···,m是线性相关的,否则称它是线性无关.定义:在线性空间V中,如果存在n个元素1,2,···,nV,满足:(1)1,2,···,n线性无关;(2)V中任意元素总可以由1,2,···,n线性表示,则称1,2,···,n为线性空间V的一个基,称n为线性空间V的维数.当一个线性空间V中存在任意多个线性无关的向量时,就称V是无限维的.维数为n的线性空间V称为n维线性空间,记作Vn.若1,2,···,n为Vn的一个基,则Vn可表示为:Vn={=x11+x22+···+xnn|x1,x2,···,xnR}二、元素在给定基下的坐标定义:设1,2,···,n为线性空间Vn的一个基,对任意V,总有且仅有一组有序数x1,x2,···,xn,使=x11+x22+···+xnn,则称有序数组x1,x2,···,xn为元素在基1,2,···,n下的坐标,并记作=(x1,x2,···,xn)T.例1:在线性空间P[x]4中,p0=1,p1=x,p2=x2,p3=x3,p4=x4就是P[x]4的一个基.任意不超过4次的多项式:p(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4P[x]4,都可表示为p(x)=a0p0+a1p1+a2p2+a3p3+a4p4因此,p(x)在这个基1,x,x2,x3,x4下的坐标为p(x)=(a0,a1,a2,a3,a4)T..21)()(44332211010qaqaqaqaqaaxp,),,21,,()(432110Taaaaaaxp注意:线性空间V的任一元素在一个基下对应的坐标是唯一的,在不同的基下所对应的坐标一般不同.若取另一个基:q0=1,q1=1+x,q2=2x2,q3=x3,q4=x4,则因此,p(x)在这个基下的坐标为例2:所有二阶实矩阵组成的集合R22,对于矩阵的加法和数量乘法,构成实数域R上的一个线性空间.对于R22中的矩阵,1000,0100,0010,000122211211EEEE,4321kkkkk1E11+k2E12+k3E21+k4E22=因此,有,0000k1E11+k2E12+k3E21+k4E22=O设而k1=k2=k3=k4=0.,2222211211RaaaaA即,E11,E12,E21,E22线性无关.对任意实二阶矩阵有A=a11E11+a12E12+a21E21+a22E22.所以,E11,E12,E21,E22为V的一个基.而A在基E11,E12,E21,E22下的坐标为:A=(a11,a12,a21,a22)T..)!)(,,!2)(),(),(()(Tnnaafafaff)(!)()(!2)())((')()()(2axnafaxafaxafafxfnn例3:在线性空间P[x]n中,取一组基:0=1,1=(x–a),2=(x–a)2,···,n=(x–a)n.则由泰勒公式知,对任意不超过n次的多项式f(x)都有:因此,f(x)P[x]n在基0,1,2,···,n下的坐标为:三、线性空间的同构设1,2,···,n是n维线性空间Vn的一组基,在这组基下,Vn中的每个向量都有唯一确定的坐标.而向量在这组基下的坐标,可以看作Rn中的元素,因此向量与它的坐标之间的对应关系,就是Vn到Rn的一个映射.由于Rn中的每个元素都有Vn中的向量与之对应,同时Vn中不同向量的坐标不同,因而对应Rn中的不同元素.我们称这样的映射是Vn与Rn的一个一一对应的映射,这个对应的重要性表现在它与运算的关系上.设=a11+a22+···+ann=b11+b22+···+bnn即,向量,Vn在基1,2,···,n下的坐标分别为:=(a1,a2,···,an)T,=(b1,b2,···,bn)T,则+=(a1+b1)1+(a1+b1)2+···+(a1+b1)nk=ka11+ka22+···+kann于是+与k的坐标分别为:(a1+b1,a2+b2,···,an+bn)=(a1,a2,···,an)T+(b1,b2,···,bn)T,(ka1,ka2,···,kan)T=k(a1,a2,···,an)T.上式表明:在向量用坐标表示后,它们的运算就归结为坐标的运算,因而对线性空间Vn的讨论就归结为线性空间Rn的讨论.下面更确切地说明这一点定义:设U,V是两个线性空间,如果它们的元素之间有一一对应关系,且这个对应关系保持线性组合的对应,那末就称线性空间U与V同构.例如:n维线性空间Vn={=x11+x22+···+xnn|x1,x2,···,xnR}与n维数组向量空间Rn同构.(1)Vn中的元素与Rn中的元素x=(x1,x2,···,xn)T形成一一对应关系:因为,Vn:=x11+x22+···+xnnRn:x=(x1,x2,···,xn)T(2)设(a1,a2,···,an)T,(b1,b2,···,bn)T,+(a1,a2,···,an)T+(b1,b2,···,bn)T,kk(a1,a2,···,an)T.则有结论:1.同一数域P上的同维数线性空间都同构;2.同构的线性空间之间具有等价性(即自反性,对称性与传递性).同构的意义:在对抽象线性空间的讨论中,无论构成线性空间的元素是什么,其中的运算是如何定义的,我们所关心的只是这些运算的代数(线性运算)性质.从这个意义上可以说,同构的线性空间是可以不加区别的,而有限维线性空间唯一本质的特征就是它的维数.四、小结1.线性空间的基与维数.2.线性空间的元素在给定基下的坐标:(1)把抽象的向量与具体的数组向量联系起来;(2)把抽象的线性运算与数组向量的线性运算联系起来.3.线性空间的同构.思考题解答.000055117694503221214321kkkk令k1f1(x)+k2f2(x)+k2f3(x)+k4f4(x)=0,因此则得:(k1+2k2+k3+2k4)x3+(–2k1–3k2–5k4)x2+(4k1+9k2+6k3+7k4)x+(k1–k2–5k3+5k4)=0.思考题求由P[x]3中的元素:笔记：P[x]3同构于R3，f1相当于向量（1，-2，4，1）T。f1(x)=x3–2x2+4x+1,f2(x)=2x3–3x2+9x–1,f3(x)=x3+6x–5,f4(x)=2x3–5x2+7x+5生成的子空间的基与维数.因此,f1(x),f2(x)线性无关,且是由f1(x),f2(x),f3(x),f4(x)所生成的子空间的基,该子空间的维数为2,且有f3(x)=–3f1(x)+2f2(x),f4(x)=4f1(x)–f2(x).0000000012104301~初等行变换A设该齐次线性方程组的系数矩阵为A,则