《泛函分析》课后习题答案(张恭庆)

11.3.1在度量空间中求证；为了子集A是列紧的，其充分且必要条件是对

0存在A的列紧的
网．证明必要性显然,只证充分性.

0,设N是A的列紧的
2网;N0是N的有限
2网,则有
xA,N,
x,
2N,x
N0,
,x

2
x,x

x,
,x

2
2
.N0是A的有限
网.1.3.2给定距离空间
X,,设MX是紧集,求证M上连续函数必有界,亦达到它的上,下确界.证明f
x0 f
xnk,supxMf
xf
x

0,x
M,f
x

xn,1nf
xnf
x0 f
xnkf
x0.注紧集条件不可少.例
0,1上考虑xn
t,xn
ttn,f
x
01x2
tdtf
tn
01t2ndt12n1infn1f
tn0,0
0,1.1.3.3在度量空间中求证：完全有界的集合是有界的,并且通过考虑2的子集2ekk1,ekk0,0,,1,0,来说明一个集合可以是有界但不完全有界.证设M是完全有界集,那么

0,M的有限的
网.特别对
1,设Nx1,x2,,xn,则有Mk1nB
xk,1.于是
xM,设a为空间X的一个固定元.我们有
x,a
x,xk
xk,a1max1kn
xk,a,即M是有界的.下面说明ekk1有界但不完全有界.首先,对
k,2
ek,1,其中0,0,,0,.由此可见ekk1有界.再注意到eieji0,0,,1,0,j0,0,,1,0,ji0,0,,1,0,,1,
ji.
ei,ejk1ei
kej
k2122
ji.由此可见,ekk1与其任意子列都不收敛,从而ekk1不是列紧的,根据Hausdorff定理,也就不完全有界.1.3.4设
X,是度量空间，F1，F2是它的两个紧子3集，求证x1F1,x2F2,使得
F1,F2
x1,x2,其中
F1,F2definfxF1,yF2
x,y.证明记d
F1,F2,
xF1,yF2.
nN,xnF1,ynF2,d
xn,ynd1n设xnkx1F1,相应的ynkF2,序列ynk未必收敛,但因为F2紧,存在它们的子序列ynkj收敛,设ynkjx2F2,即有dxnkj,ynkjd1nkjjd
x1,x2.1.3.5设M是Ca,b中的有界集,求证集合MF
x
axf
tdt|fM是列紧集.证:设EF
x
axf
tdt|fM,
fM,|f
t|M0

ta,b|F
x|
axf
tdt
ab|f
t|dtM0
ba

FE.即E一致有界.|F
x2F
x1|
x1x2f
tdt
x1x2|f
t|dtM0|x2x1|

0,
M0,4|x2x1||F
x2F
x1|


FE.即E等度连续.1.3.5设M是Ca,b中的有界集,求证集合MF
x
axf
tdt|fM是列紧集.证:设EF
x
axf
tdt|fM,
fM,|f
t|M0

ta,b|F
x|
axf
tdt
ab|f
t|dtM0
ba

FE.即E一致有界.|F
x2F
x1|
x1x2f
tdt
x1x2|f
t|dtM0|x2x1|

0,
M0,|x2x1||F
x2F
x1|


FE.即E等度连续.1.3.6求证sinntn1在C0,中不是列紧的.证:只要证sinntn1非等度连续.对
01,
0,取kN,使得1k,nk2k,tk4k0,,t00,|tk0|4k1k,|sinnktksinnk0|sin21
0.由此可见,sinntn1非等度连续.1.3.7空间S中集合A的列紧性条件.A在S中是列紧的，当且仅当，对于任何n
,Cn0,使得对

1,2,,n,A,的点的第n个坐标的5数集是有界的，即|n|Cn
n1,2,.证必要性.因为A在S中是列紧的,任意一个无穷点列
mA可以取出收敛子序列
mk.因为S中的收敛与按坐标收敛等价,所以点列
m中的每一个点(固定m)的坐标序列n
m
n1,2,也可以从其任意无穷子集中取出收敛子序列,而坐标序列构成数集，要从其任意无穷子集中取出收敛子序列显然应该要求它们有界.为了证明充分性,根据习题1.3.1,只要构造A的列紧的
网,

0,取定一个n充分大,使得12n
,考虑形如hnn
1,2,,n,0,0,的点的集合H,其中
1,2,,n,n1,A.因为
x,hnkn112k|k|1|k|kn112k12n
.所以H是A的
网.再证H是在S中列紧的.事实上,可以将H看做是元素为
1,2,,n的n维空间中的子集,由假设|k|Ck
k1,2,n,即每个坐标都是有界的,所以H可看做是n维空间中的有界集.从而是列紧的.1.3.8设
X,是距离空间,M是X中的列紧集,若映射T:XM满足
Tx,Ty
x,y

x,yX,xy,求证T在X上存在唯一的不动点.证记dinf
x,f
x|xM,6证明先证存在x0M,使得
x0,f
x0d.这从下确界的定义出发,
n
,xnM,使得d
xn,f
xnd1n,又因为M列紧，故存在xnkx0,将上面不等式中的n改为nk,即d
xnk,f
xnkd1nk,并令k .再证d0.用反证法．如果d0,则有d
f
x0,f
f
x0
x0,f
x0d，矛盾．1.3.9设
M,是一个紧距离空间,又EC
M,E中函数一致有界并满足下列:|x
t1x
t2|c
t1,t2
xE,t1,t2M,其中01,c0,求证E在C
M中是列紧集.证

0,取
C1,当
t1,t2时,|x
t1x
t2|C
t1,t2注
.所以E是等度连续的.注C
t1,t2

t1,t2
C
t1,t2
C111.4.1在R2中，
z

a,b，令z1
|a||b|;z2
a2b2;z3
max
|a|,|b|;z4

a4b412.(1)求证i,i
1,2,3,4都是R2上范数；(2)画出
R2,ii
1,2,3,4各空间中的单位球面图形；(3)取O

0,0,A

1,0,B

0,1，试在上述四种不同范数下求出OAB三边的长度.|AB|1
|10||01|
2.|AB|2
2.|AB|3
max
|10|,|01|
1.|AB|4
214.1.4.2C
0,1表示
0,1上连续且有界的函数x
t全体．对
xC
0,1，令
x

sup0t1|x
t|.求证：(1)

是C
0,1空间上的范数；(2)l与C
0,1的一个子空间是等距同构的．解
xC
0,1,x
x
1,x12,,x
1n,l2
x

supn1|x
1n|
x
.反之,


1,2,,n,l,将点列
1,1,12,2,,
1n,n,用折线连接起来,得到一个函数x
tC
0,1.
x
supn1|n|


.
x

x

x






x
.112131n()11,21,2 1,nn

注折线函数在每一个折线段上的最大值由端点值决定.ab()xa()xb()xttx
t
x
abxbax
bxaba|x
t||x
a|bxba|x
b|xabamax|x
a|,|x
b|.31.4.3在C1a,b中令x1

ab
|x
t|2|x
t|2dt12
xC1a,b(1)求证1是C1a,b上的范数;(2)问
C1a,b,1是否完备？考虑C10,1中的函数列:fn
x
x21n2
1x1可以验证fn
x1按范数

1是基本列.但是fn
x|x|C10,1.fn
x
xx21n2,m n
fm
xfn
x
2
2
01
x21m2x21n22x2
1x21m21x21n22dx
I1I2I1
21n21m22
01
1x21m2x21n22dx2n20
n.I2
2
01x2
1x21m21x21n22dx
2
01x2x21n2x21m22x21m2x21n2dx42n4
011x21n2x21n2xdx
011x21n2x21n2xdx

01n
1n1
01n1x21n2x21n2xdxn3
1n11x21n2x21n2xdx
1n1dx2n221n
11nn3n3I22n0
n.但是fn
x|x|C10,1.1.4.4在C0,1中，对每个xC0,1令x1

01|x
t|2dt12;x2

01
1t|x
t|2dt12,求证1和2是C0,1中两个等价范数.证明显然x1x2.x22

01
1t|x
t|2dt

01|x
t|2dt
01t|x
t|2dt2
01|x
t|2dt
2x12x22x1.1.4.5设BC0,表示0,上连续且有界的函数f
x全体，对于每个fBC0,及a 0,定义
f
a

0eax|f
x|2dx12.(1)求证

a是BC0,上的范数．(2)若a,b 0,ab5求证

a,

b作为BC0,上的范数是不等价的．证明不妨假设b a 0,显然有
f
b
f
a,由此可见,为了证明不等价性,只要证不存在c 0,使得
f
ac
f
b

fBC0,.只需证 fnBC0,,使得
fn
a2
fn
b2.gn
xdef
eax,0xneax
n1x,nxn10,xn1fn
xdef
gn
x
f
a2
0neaxeaxdx
n,
f
b2
0ebxeaxdx

0e
baxdx
1ba
fn
a2
fn
b2nba.1.4.6设X1,X2是两个线性赋范空间，定义X
X1X2

x1,x2|x1X1,x2X2称为X1与X2的Decard笛卡尔空间.规定线性运算如下：
x1,x2
y1,y2

x1y1,x2y26,K,x1,y1X1,x2,y2X2，并赋以范数
x1,x2
max
x11,x22其中1和2分别是X1和X2的范数，求证：如果X1,X2是B空间，那末X也是B空间.证明设x
n是X中的基本列.则
x
nx
m
0
n,mx1
nx1
m10
n,mx2
nx2
m20
n,m因为X1是B空间,所以 x1X1使得x1
nx1;又因为X2是B空间所以 x2X2使得x2
nx2.xdef

x1,x