寿险精算习题及答案

习题第一章人寿保险一、n年定期寿险【例4.1】设有100个40岁的人投保了1000元5年期定期寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为3%。I、如果各年预计死亡人数分别为1、2、3、4、5人，计算赔付支出；II、根据93男女混合表，计算赔付支出。解：I表4–1死亡赔付现值计算表年份年内死亡人数赔付支出折现因子赔付支出现值（1）（2）（3）=1000*(2)（4）（5）=(3)*(4)111000103.1970.87222000203.11885.19333000303.12745.43444000403.13553.95555000503.14313.04合计---15000---13468.48根据上表可知100张保单未来赔付支出现值为：48.13468)03.1503.1403.1303.1203.11(100054321（元）则每张保单未来赔付的精算现值为134.68元，同时也是投保人应缴的趸缴纯保费。解：II表4–2死亡赔付现值计算表年份年内死亡人数赔付支出折现因子赔付支出现值（1）（2）（3）=1000*(2)（4）（5）=(3)*(4)11000*40q=1.6501650103.11601.9421000*40|1q=1.8091809203.11705.1631000*40|2q=1.9861986303.11817.4741000*40|3q=2.1812181403.11937.7951000*40|4q=2.3912391503.12062.50合计---10017---9124.86根据上表可知100张保单未来赔付支出现值为：86.9124)03.103.103.103.103.1(1000540|4440|3340|2240|11402qqqqq（元）则每张保单未来赔付的精算现值为91.25元，同时也是投保人应缴的趸缴纯保费。【例4.2】某人在40岁时投保了10000元3年期定期寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为5%。根据93男女混合表计算：I、单位趸缴纯保费；II、单位赔付现值期望的方差；III、（总）趸缴纯保费；解：I、单位趸缴纯保费为，)()(424023414024040|2340|12402040|11|3:40qpvqpvvqqvqvvqqvAkkk]05.1001993.0)001812.01()00165.01(05.1001812.0)00165.01(05.100165.0[3200492793.0（元）。II、单位赔付现值期望的方差为，00444265.0)()()()(21|3:4040|2640|1440221|3:402040|)1(221|3:401|3:402AqvqvqvAqvAAkkkIII、趸缴纯保费为，28.49100001|3:40A（元）【例4.3】某人在50岁时投保了100000元30年期定期寿险，利率为8%。假设)1051(1000xlx，计算趸缴纯保费。解：趸缴纯保费为，kkkkqpA5029050)1(1|03:5008.1100000100000其中，5555505050kllpkk，klllqkkkk55150515050故，kkAkk551555508.1100000100000290)1(1|03:5070.20468)08.1/1(1)08.1/1(108.115510000030（元）二、终身寿险【例4.4】某人在40岁时投保了10000元终身寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为5%。根据93男女混合表计算：I、单位趸缴纯保费；II、单位赔付现值期望的方差；III、（总）趸缴纯保费；解：I、单位趸缴纯保费为，18853.0...40|646540|2340|124064040|140qvqvqvqvqvAkkk（元）。II、单位赔付现值期望的方差为，00191979.0)()(24064040|)1(2240402AqvAAkkkIII、趸缴纯保费为，29.18851000040A（元）三、n年定期生存寿险【例4.5】某人在40岁时投保了10000元20年定期生存寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为5%。根据93男女混合表计算：I、单位趸缴纯保费；II、单位赔付现值期望的方差；III、（总）趸缴纯保费；解：I、单位趸缴纯保费为，342332.04020201|02:40pvA（元）II、单位赔付现值期望的方差为，0313891.040204020202qpvIII、趸缴纯保费为，32.3423100001|02:40A（元）纯保费+风险附加费用=365.36)0213183.03423317.0(100))((100RzE（元）四、n年定期两全保险【例4.6】某人在40岁时投保了10000元20年两全寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为5%。根据93男女混合表计算：I、单位趸缴纯保费；II、单位赔付现值期望的方差；III、（总）趸缴纯保费；解：I、单位趸缴纯保费为，391722.01|02:401|02:40|02:40AAA（元）II、单位赔付现值期望的方差为，004261.0)()(2)()()(2121zEzEzVarzVarzVarIII、趸缴纯保费为，39172210000|02:40A（元）六、延期寿险【例4.7】某人在40岁时投保了一份寿险保单，死亡年年末赔付，如果在40-60岁死亡，赔付50000元；65-75岁死亡，赔付100000元；在75岁后死亡，保险金为30000元。利用生命表93U、利率6%条件下的转换基数表计算该保单趸缴净保费。解、这份保单可以分解为一份50000元的25年定期寿险、一份100000元延期25年的10年定期寿险和一份30000元延期35年的终身寿险的组合，即，40756540407540756540654070000)(5000030000)(100000)(50000)(DMMMDMDMMDMMzE487.800895.939424432.3870000)7800.7213451.43(50000（元）这份保单还可以分解为一份30000元终身寿险、一份200000元的35年定期寿险和一份50000元延期25年的10年定期寿险的组合，即，40756540407565407540404070000)(50000)(50000)(2000030000)(DMMMDMMDMMDMzE七、变额寿险【例4.8】利用计算基数表求下列保单在被保险人50岁签单时的1单位元趸缴纯保费和方差，死亡年度末给付，年利率6%，参照生命表（U,93,1000000）:I、终身寿险；II、20年定期寿险；III、20年定期两全保险；IV、延期10年终身寿险；V、延期10年的20年定期寿险；VI、延期10年的20年定期两全保险。解、I、终身寿险：229574.051090.5311729.04505050DMA028642.051090.53)(11729.04-773.6211225.6235/2//2250250505050DMDDDMDAII、20年定期寿险：109218.01090.536149.05)/5-11729.04(/)(5070501|02:50DMMA250270505070501|02:50/)(/)(DMMDDDMDMDA047634.01090.53)6149.05)/5-11729.04((-773.621160.4193)/2-225.6235(2III、20年定期两全保险：351429.051090.5312374.69)/6149.05-11729.04(/)(50707050|02:50DDMMA250270705050707050|02:50/)(/)(DDMMDDDDDMDMDA011583.051090.53)12374.69)/6149.05-11729.04((-773.6211209.471)/260.4193-225.6235(2IV、延期10年终身寿险：182062.0090.539301.66/51/506050|10DMA013763.01090.53)(9301.66/5-773.6211130.1094/2//2250260506050|10DMDDDMDAV、延期10年的20年定期寿险：127213.01090.532802.27)/5-9301.66(/)(5080601|02:50|10DMMA250280605080601|02:50|10/)(/)(DMMDDDMDMDA024048.01090.53)2802.27)/5-9301.66((-73.621118.522)/27-130.1094(2VI、延期10年的20年定期两全保险：211622.01090.534312.51)/52802.27-9301.66(/)(50808060|02:50|10DDMMA250280806050808060|02:50|10/)(/)(DDMMDDDDDMDMDA010144.01090.53)4312.51)/52802.27-9301.66((-773.621140.7625)/218.522-130.1094(2第三节连续型（死亡即刻赔付）寿险趸缴纯保费【例4.9】已知被保险人的寿命分布函数100)(xxF，1000x，假设05.0，分别求40A和40AD。解、100100)(1)(xxFxS，)(11)()('txtxStxStx，xtxxStxSpxt100)(100)()(，xptftxxtx1001)(，当40x，601)(tfx，60401000t。31674.005.060160160160005.060060040ttteetdeA，4166254.005.06021602160160005.0260026002402ttteetdeA，06593.0)(24040240AAAD；【例4.10】(x)投保终身寿险，死亡即刻赔付1元。假设余命服从常数死亡率分布，06.0，利息力03.0。计算，I、xA、xAD；II、，求9.0；III、假设有100个(x)独立同分布的个体购买了该保险，每人世纪缴纳保费为xAR)1(。在正态分布条件下要使保费有95%的概率足够支付死亡赔偿，计算R。9.0)(9.0trzP解、在常数死亡力下，uttxxxtedsp)exp(，tx，则，I、320)(00tdetdeetdpeAxtxttxtxxttx，2120)2(2tdeAxtx，181)(22xxxAAAD；II、9.0)ln()lnln()()(9.09.09.09.0tPvtPvPzPrrtrtr，t（余命）的密度函数ttxxtxeuptf)(，则，9.0|)ln(9.09.09.09.0ln2lnlnln9.0eeedtetPttr，解得，9.09.0；III、)}(100),(100{...10021zVarzENzzzzagg