北京理工大学2005级硕士研究生矩阵分析考试题

1北京理工大学2005-2006学年第一学期2005级硕士研究生〈矩阵分析〉终考试题一、（10分）已知矩阵1115211762621A的特征矩阵EA等价于矩阵2111()，求A的Jordan标准形J及相似变换矩阵P。二、（12分）求矩阵221100A的奇异值分解。三、（10分）求矩阵210120223A的谱分解。四、（13分）已知矩阵1212aAa，（1）问当a满足什么条件时，矩阵幂级数121()kkkA绝对收敛？（2）取a=0，求上述矩阵幂级数的和。五、（10分）已知301121103A，求矩阵函数,sinAteA。2六、（10分）已知向量微分方程()()()dxtAxtftdt及初始条件x(0)，求该方程的解，这里1221110120(),(),(),()()xtAxtftxxtt。七、（10分）求下列线性方程组的最佳最小二乘解。12312312312222334xxxxxxxxx八、（10分）设mnAC，证明：如果()rAn，则AHA是正定Hermite矩阵。九、（15分）（1）已知m阶Jordan块0000111mmJ，求0J的最小多项式0()J；（2）设方阵A的Jordan标准形为J，证明：A与J有相同的最小多项式，即()()AJ；（3）证明：如果A的最小多项式为12()()()()Ak，则A是单纯矩阵，这里12,,,k是A的互异特征值。