-北京四中-初一数学角

1角编稿：朱晓琳审稿：梁威责编：高伟知识要点梳理要点一：角的定义与表示角的定义1．“静态”定义角是由两条具有公共端点的射线组成的图形.这个公共端点叫角的顶点，两条射线叫角的两条边．2．“动态”定义角可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而成的图形，射线的起始位置是始边，终止位置是终边．3．两种特殊的角：平角和周角．平角：当射线OB绕O点旋转，当终止位置OA与起始位置OB在一条直线上时，形成平角，如图1．周角：当射线OB绕O点旋转，当终止位置OA与起始位置OB重合时，形成周角，如图2．图1图2角的表示法图3图4图5１．用三个大写字母表示，而且表示顶点的字母必须写在中间，其他两个字母的位置可2以调换，如∠AOB，如图３．２．当角的顶点处只有一个角时，可以用角的顶点字母来表示这个角，如∠O，如图３３．当一个角的内部不再包含其他角时，可以在角的内部靠近顶点处加上弧线，注上数字或小写希腊字母来表示一个角，如∠1、∠2、∠α、∠β，如图４、５．要点二：角的度量度、分、秒是常用的角的度量单位．把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′，把1′的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″．度、分、秒是60进制的．以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．此外，还有其他度量角的单位制，例如弧度制、密位制等．要点三：角的比较和运算角的比较（可以类比线段的比较）1．度量法常用的度量角的工具是量角器．分别用量角器量出两个角的度数，度数大的角大．2．叠合法把需比较大小的两个角叠合在一起，使两个角的顶点及一边重合，另一边落在重合这条边的同一旁，若另一边重合，则这两个角相等；不重合时，另一边落在外面的角大，如图6．∠AOB＜∠A’O’B’∠AOB=∠A’O’B’∠AOB＞∠A’O’B’图６角的运算由于角与线段一样，可以度量，因此也能进行相应的计算，也可大致分为几何的与代数的两类计算．31．和差如图７：∠AOC是∠AOB与∠BOC的和，记作∠AOC=∠AOB+∠BOC；∠AOB是∠AOC和∠BOC的差，记作∠AOB=∠AOC－∠BOC；∠BOC=∠AOC－∠AOB．2．倍分——角平分线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的角平分线．如图８，我们用符号语言将常用的说理过程描述一遍：∵OB是∠AOC的角平分线∴∠AOB=∠BOC，（也可使用∠AOC=2∠AOB=2∠BOC或∠AOB=∠BOC=∠AOC）．３．角的三等分线、四等分线等相关概念如图９，若∠AOB=∠BOC=∠COD，则OC、OB是∠AOD的三等分线．（同学们可以试着给出角的n等分线的概念）图７图８图９要点四：余角和补角余角、补角的概念1．余角如果两个角的和是90°，则这两个角互为余角，其中一个叫做另一个的余角．２．补角如果两个角的和是180°，则这两个角互为补角，其中一个叫做另一个的补角．4相关定理：１．同角或等角的余角相等．２．同角或等角的补角相等．经典例题精析1．图10中∠ABC_____写成∠DBC吗？∠ABC_____写成∠B吗？∠1_____写成∠C吗？（以上空填“能”或“不能”）；以点C为顶点的角有___________．图10解析：能；能；不能；∠ACD，∠ACB，∠DCB．总结升华：（1）如图11，用∠O表示∠AOC是不对的，一个大写字母只能表示单角，若一个顶点处有多个角则不能用这种方法．（2）如图12，用∠1表示∠AOB也是不对的，这个角的内部不再包含其他角时，可用这种方法．图11图12图1352．图13中有几个角，分别是什么？思路点拨：数角的个数时可用多种方法，注意规律，不能重数或漏数；写角的名称时，不能漏写角的符号，表示顶点的字母写中间，并强调这些角都不能只用顶点字母表示．解析：6；∠EAD，∠EAC，∠EAB，∠DAC，∠DAB，∠CAB．总结升华：角的个数与顶点处引出射线的关系：．【变式1】在的内部，从引出三条射线，如图14，共有多少个角?【答案】共有10个角，．图14【变式2】若在角AOB的内部从它的顶点O引出n条射线，则图中有多少个角？【答案】．3．如图15，AB、OD都经过点O，∠BOD=72°，OE为∠AOD的角平分线，则∠1的度数为多少？解析：∵∠BOD=72°，又∵∠BOD+∠AOD=180°，∴∠AOD=180°－∠BOD=108°.∵OE为∠AOD的角平分线，∴∠1=∠AOD=54°．图154．计算：（1）53°39′+36°40′；（2）92°3′－48°34′；6（2）53°25′28″×5；（4）15°20′÷6．解析：90°19′；43°29′；267°7′20″；2°33′20″．总结升华：（1）加减法要将同一单位进行加减，加法满60进1，减法不够减借1要当60；（2）乘法时将数与度．分．秒分别相乘，然后从小到大进位；（3）除法时用度先除，把余数化为分，再加上原来的分，用这个数除以除数，把余数化成秒，再加上原来的秒，再用这个数除以除数，如果除不尽，就按题意要求进行四舍五入．5．（1）一个角是30°2′，则它的余角是_____；补角是_____；它的补角比它的余角大____。（2）∠α的余角可表示为__________；补角可表示为__________．思路点拨：根据余角、补角的定义，求一个角的余角，就用90°减去它；求一个角的补角，就用180°减去它．解析：（1）59°58′；149°58′；90.（2）90°－∠α，180°－∠α.6．一个角的补角是它的余角的3倍，求这个角．解析：设这个角是x°，则它的余角为（90－x）°，它的补角为（180－x）°，列方程得180－x=3（90－x），解得：x=45°．7．一艘轮船从点A出发，沿南偏西60°方向航行到B点，再从B点出发沿北偏东15°方向航行到C点，则∠ABC是多少度？思路点拨：解决这类问题的关键是准确的根据题意画出图，并根据图示进行相关运算．如图16解析：∠ABC＝45°．总结升华：图16（1）我们在说角的时候，会说南偏西60°，而非西偏南30°，习惯上先说南北，再说东西．（2）四个特殊角有特殊称呼，如南偏西45°，我们称为西南，与之类似的，还有西北、东南、东北．