对面积的曲面积分2010426

§10.4对面积的曲面积分一、对面积的曲面积分的概念和性质前面已经介绍了两类曲线积分，对第一类曲线积分niiiiLsdsyx10),(lim),(其物理背景是曲线型构件的质量，在此质量问题中若把曲线改为曲面，线密度改为面密度，小段曲线的弧长改为小块曲面的面积，相应地得和式niiiiiS10),,(lim抽象概括得到对面积的曲面积分的概念1.定义设曲面是光滑的,函数),,(zyxf在上有界,把分成n小块iS（iS同时也表示第i小块曲面的面积）,设点),,(iii为iS上任意取定的点,作乘积),,(iiifiS,并作和niiiif1),,(iS,如果当各小块曲面的直径的最大值0时,这和式的极限存在,则称此极限为函数),,(zyxf在曲面上对面积的曲面积分或第一类曲面积分.记为dSzyxf),,(.即dSzyxf),,(iiiniiSf),,(lim10叫被积函数，其中),,(zyxf其物理背景是面密度为f(x,y,z)的曲面块的质量2.对面积的曲面积分的性质由上述定义可知其性质与对弧长的曲线积分的性质完全类似ⅰ）线性性gdSfdSdSgf)(ⅱ）可加性12fdSfdSfdS)(21ⅲ）存在性存在则连续若dSzyxfzyxf),,(,),,(Ⅴ）fdS表示闭曲面),(:.1yxzz若曲面则dSzyxf),,(;1)],(,,[22dxdyzzyxzyxfxyDyx则dSzyxf),,(;1]),,(,[22dxdzyyzzxyxfxzDzx二、对面积的曲线积分的计算法按照曲面的不同情况分为以下三种：),(:.2zxyy若曲面),(.3zyxx：若曲面则dSzyxf),,(.1],),,([22dydzxxzyzyxfyzDzy对面积的曲面积分化为二重积分的计算步骤1）将曲面的方程代入被积函数2）换面积元dS3）将曲面投影到坐标面得投影区域注：（1）这里积分曲面的方程必须是单值显函数，否则可利用可加性，分块计算，结果相加（2）把曲面投影到哪一个坐标面，取决于曲面方程及投影区域（3）将曲面的方程代入被积函数的目的和意义是把被积函数化为二元函数（4）切记任何时候都要换面积元例1计算dszyx)(,其中为平面5zy被柱面2522yx所截得的部分.解积分曲面：yz5,投影域：}25|),{(22yxyxDxydxdyzzdSyx221dxdy2)1(01,2dxdydszyx)(故xyDdxdyyyx)5(2xyDdxdyx)5(2dxdyxdxdyxyxyDD252.2125例2计算dSyx)(2222yxz是锥面其中与平面z=1所围成的区域的整个边界曲面解分成两部分将10:221zyxz11:222yxz21,在xoy内的投影区域1:22yxDoxyz1:2z11)(22dSyx故Dyxdxdyzzyx22221)(Ddxdyyx)(22220102222rdrrd2)(22dSyxDdSyx)(22220102rdrrd21)()(2222dSyxdSyx221例3计算dSyx221是介于平面其中z=0与z=H之间的圆柱面222Ryx解)(:221在第一卦限的部分令xRy面的投影区域为在zox1RxHzDzx00:由对称性有12222141dSyxdSyxzxDzxdxdzyyR222114HRdxxRRdzR002224RH2例4计算dSxyz||,其中为抛物面22yxz（10z）.xyz解依对称性知：有14成立，(1为第一卦限部分曲面)dxdyzzdSyx221dxdyyx22)2()2(1原式dSxyz||dSxyz14dxdyyxyxxyxyD2222)2()2(1)(4其中1|),{(22yxyxDxy,}0,0yxrdrrrrd102222041sincos4drrrd21050412sin22令241ruduuu251)41(41.42015125注对面积的曲面积分有类似与三重积分的对称性设对称于xoy（或yoz，或zox）坐标面若f（x,y,z)关于z（或x，或y）是奇函数0),,(dSzyxf则若f（x,y,z)关于z（或x，或y）是偶函数1),,(2),,(dSzyxfdSzyxf部分位于对称坐标面一侧的是其中1完全类似于三重积分的对称性例5计算dSzxyzxy)(为其中所截得的部分被柱面锥面axyxyxz22222解面的投影区域在xoyaxyxD2:2222yxz2222yxyzyxxzyxdSzxyzxy)(故Ddxdyyxyxxy])([222Ddxdyyxx222计算xdS,其中是圆柱面122yx,平面2xz及0z所围成的空间立体的表面.例62054cos28da415264a22cos203cos2adrrd解321其中1：0z,2：2xz,3：122yx.投影域1D：122yx显然011DxdxdyxdS,,01112DdxdyxxdS讨论3时,将投影域选在xoz上.（注意：21xy分为左、右两片）（左右两片投影相同）3xdS31xdS32xdSxzDzxdxdzyyx2212xzDdxdzxxx221121120212xdzdxxx,xdS00.例7求均匀曲面222yxaz的重心坐标解由对称性0,0yxdSzdSzdS22adxdyyxaayxazdSD222222Ddxdya3a2az故重心坐标为)2,0,0(a例8)0(22220zazyx的均匀半球壳求密度为轴的转动惯量对于z解222:ayxDdSyxIz)(220Dyxdxdyzzyx222201)(dxdyyxaayxD222220)(20022201ardrrarda3440a注对面积的曲面积分的应用面积dSA质量dSzyxM),,(重心dSdSxxdSdSyydSdSzz转动惯量dSzyIx)(22dSzxIy)(22dSyxIz)(22小结1、对面积的曲面积分的概念;dSzyxf),,(iiiniiSf),,(lim102、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影域上的二重积分计算.（按照曲面的不同情况分为三种）