Wash函数和CRC编码

第五章Walsh函数和CRC编码北京交通大学现代通信研究所16:001CDMA系统工程64阶walWalsh泛应用于IS-95系统：前向信道数据与周期Walsh系列相乘（正交扩谱）理论上，不同信道的不同Walsh序列相互正交消除或抑制多址干扰（MAI）实际上，多径信号、其它小区信号异步性引起非正交；导致干扰采用PN序列扩频，依靠处理增益克服干扰反向信道使用Walsh函数作正交调制编码，不用于区分信道介绍Walsh函数性质、生成方法及其译码（IS95未规定）第五章Walsh函数和CRC编码北京交通大学现代通信研究所16:002CDMA系统工程5.1Walsh函数定义N阶waWalsh的定义：N个函数的集合，记为{Wj(t);t∈[0,T],j=0,1,2,3…N-1},•Wj(t)值域：｛－１，０，１｝，０为跳跃点取值；•对于所有的ｊ，有Wj(０)＝１；•在区间[0,T]内，Wj(t)有ｊ次符号变化（过零点）；••Wj(t)或是奇函数或是偶函数（关于［0,T］中的点）；kjTkjdttWtWkTj,,0)()(0（正交）第五章Walsh函数和CRC编码北京交通大学现代通信研究所16:003CDMA系统工程参见下图所示函数。验证为８阶Walsh函数：了解Walsh函数的性质，掌握Walsh函数的构造方法第五章Walsh函数和CRC编码北京交通大学现代通信研究所16:004CDMA系统工程5.2Walsh序列性质（对称性，有序性）变换：+1→”0”;-1→”1”;j→二进制数第五章Walsh函数和CRC编码北京交通大学现代通信研究所16:005CDMA系统工程Walsh序列对称性（历史）当时，Walsh序列关于点，或者奇对称或者偶对称kN2,1,1,,2/kkjTj134T16T80101101010100101/2/2160101101010100101T/801011010101001kWTT序列关于处奇对称关于处奇对称01如16阶Walsh函数中：第五章Walsh函数和CRC编码北京交通大学现代通信研究所16:006CDMA系统工程1010010101011010T/21010010101011010T/42T4T处奇对称关于处偶对称关于第五章Walsh函数和CRC编码北京交通大学现代通信研究所16:007CDMA系统工程用K位二进制数表示Walsh函数下标j,则：),,,,(321kjjjjj),2,1(102/1KkjjTkkkK奇对称，偶对称，处对称函数关于Wj(0)=1→Wj0=0，13→1101，W13→：写出如下序列：０１０１１０１０１０１００１０１第五章Walsh函数和CRC编码北京交通大学现代通信研究所16:008CDMA系统工程Walsh函数的有序性（用于译码）：10100101010110101313：序列考虑42/]0[aaTTk奇对称，对称点为集中，序列关于314aaak称点为集各自以中点偶对称，对分序列为两个子序列，第五章Walsh函数和CRC编码北京交通大学现代通信研究所16:009CDMA系统工程22344aaaak奇对称，对称点为集个子序列，各自以中点分序列为、132348aaaaak为集奇对称，对称点个子序列，各自以中点分序列为、、第五章Walsh函数和CRC编码北京交通大学现代通信研究所16:0010CDMA系统工程综上所述，（有序性）归纳如下：Walsh序列关于集合aK奇对称或偶对称；Walsh序列关于集合aK-1(多对称点)具有同样的对称性；同样处理，Walsh序列关于集合a1具有同样的对称性。第五章Walsh函数和CRC编码北京交通大学现代通信研究所16:0011CDMA系统工程5.3Walsh函数产生Walsh函数可以用多种方法生成：用莱德马契函数；用哈达玛矩阵；用Walsh函数对称特性。第五章Walsh函数和CRC编码北京交通大学现代通信研究所16:0012CDMA系统工程5.3.2用哈达玛矩阵生成Walsh函数哈达玛矩阵是方阵，元素是+1或-1，行之间正交，列之间正交。哈达玛矩阵HN（N为阶，取值为1,2,4t,t为正整数）第五章Walsh函数和CRC编码北京交通大学现代通信研究所16:0013CDMA系统工程哈达玛矩阵生成原理：Ha×Hb=Hab,若Ha中元素为+1，则用Hb代入；若为-1，则用-Hb代入。若N为２的幂，规定H1=[+1]，则：22111-1NNNNNHHHHHH—第五章Walsh函数和CRC编码北京交通大学现代通信研究所16:0014CDMA系统工程例：构造N=16阶哈达玛矩阵规范形式:242282411111111111111111111111111111-11-1HHHHHHH1-11-111-1-111-1-11-1-111-1-111111-1-1-1-11-11-1-11-1111-1-1-1-1111-1-11-111-1第五章Walsh函数和CRC编码北京交通大学现代通信研究所16:0015CDMA系统工程11-1-11-111-1-111-11-1-11-1-11111-1-111-1-1-1-111-11-111-11-11-11-1-11-111111-1-1-1-1-1-1-1-11111-111-1-111-11-1-111-1-1111-1-111-1-1-1-111-1-1111-11-11-11-1-11-11-11-11-1-1-1-1-1-1-1-111111111-111-11-1-11-111-11-1-1111-1-1-1-11111-1-1-1-1111-11-1-11-111-11-1-11-11-1-1-1-11111-1-1-1-111111-1-111-1-111-1-111-1-11-1-111-1-111-1-111-1-111-11-11-11-11-11-11-11-111111111111111118216HHH第五章Walsh函数和CRC编码北京交通大学现代通信研究所16:0016CDMA系统工程上述哈达玛矩阵第i行用二进制序列表示，如下表所示：第五章Walsh函数和CRC编码北京交通大学现代通信研究所16:0017CDMA系统工程如果，则所有的哈达玛矩阵的行序列和列序列都是Walsh序列。两者排列转换关系为：tN2,1,,,1j1,2,,K-1()iKiiKjijijCXCXX公式a1212()(,,,)(,,,)iiiiiKiiiiiKWashWtiXXXXWCCCC设函数的符号改变次数为，用二进制序列表示，则与相等的哈达玛矩阵的行序号可以用表示，则：第五章Walsh函数和CRC编码北京交通大学现代通信研究所16:0018CDMA系统工程例：考虑16阶沃尔什序列，找出与W7相对应哈达玛矩阵的行。解：由于X7=(0111),于是可得：01101111004,73,71,73,72,72,72,71,73,71,74,7xxcxxcxxcxc77,17,27,37,41622(,,,)(0010);0011001100110011CccccHHH777因此，，于是的第二行是W即W，结果：W第五章Walsh函数和CRC编码北京交通大学现代通信研究所16:0019CDMA系统工程两种序号的相互转换关系如下表所示：第五章Walsh函数和CRC编码北京交通大学现代通信研究所16:0020CDMA系统工程两种序号转换关系还可以用矩阵表示如下：注意：IS-95中“64阶Walsh函数”表，是哈达玛序列表b)(000100000110110000011000,1,21,1,21公式KiKiiiKiKiiixxxxcccc第五章Walsh函数和CRC编码北京交通大学现代通信研究所16:0021CDMA系统工程思考题：请利用公式a和b，计算IS-95中“64阶Walsh函数”表中前16个哈达玛序列对应的Walsh序列号。第五章Walsh函数和CRC编码北京交通大学现代通信研究所16:0022CDMA系统工程5.3.3有限域用于描述序列或编码的代数结构有限域的定义：定义了四则运算的有限元素集合，记为GF(q)，q（元素数）称为阶，满足：１、域对于“加＋”，“乘·”运算封闭；２、域总是包含唯一相加恒等元０和唯一相乘恒等元１，使得对于任意元素∈GF(q)，有：＋０＝，·１＝３、对于任意元素,存在唯一的加法逆元，使得：对于任意的元素，存在唯一的乘法逆元，使得：00)(111第五章Walsh函数和CRC编码北京交通大学现代通信研究所16:0023CDMA系统工程逆运算减法（－）和除法（÷）定义如下：的乘法逆元是的加法逆元，是其中：）（，对于任意的1-1-0GF)(q４、对于元素，有以下规则：）（，，qGF（分配律））（（交换律））（）（（结合律））（）（第五章Walsh函数和CRC编码北京交通大学现代通信研究所16:0024CDMA系统工程实数集、有理数集是域（不是有限域）实数集内大于或等于零的元素集合及所有整数集合不是域。（为什么？）在GF(q)中，整数元素上的运算一般为模q的加法和乘法验证：运算封闭+01234001234112340223401334012440123●012340000001012342024133031424043210,1,2,3,4的加法逆元分别为0,4,3,2,11,2,3,4的乘法逆元为1,3,2,4在整数域GF(5)中加法、乘法运算见下表：相加恒等元相乘恒等元第五章Walsh函数和CRC编码北京交通大学现代通信研究所16:0025CDMA系统工程当q为素数时，GF(q)称为素数域素数域中，一定包含加法恒等元０和乘法恒等元１，使得：对于任何数（p为素数，m为整数），总存在有限域mp)(mpGFp01111p模个共域特征：一个域中，相乘恒等元累加得到的相加恒等元的最小个数第五章Walsh函数和CRC编码北京交通大学现代通信研究所16:0026CDMA系统工程)(mpGF如：GF(5)的特征是５，GF(2)的特征是2,的特征是ｐ)(mpGF01001110最简单的域是GF(2)(m=1,p=2),加、乘运算见下表：01000101第五章Walsh函数和CRC编码北京交通大学现代通信研究所16:0027CDMA系统工程在符号和中，约定，当,指素数域。)(qGFmpq)(mpGFqpm,1当ｍ＞1时，是素数域GF(p)的扩展域)(mpGF第五章Walsh函数和CRC编码北京交通大学现代通信研究所16:0028CDMA系统工程5.3.4矢量空间在序列和编码的数学表述中，矢量空间起到十分重要的作用。n维欧氏空间上的矢量：有向直线坐标表示定义：群G是一些对象的集合，记为，对这个集合里的元素，规定一个数学运算，记为＊，（或为＋或为·），并且满足以下特性：封闭性：G在＊运算下是封闭的；即如果a∈G,b∈G,则a＊b也是G中元素。结合律：对于集合中的任意三个元素a,b,c，满足结合律；即任意的a∈G,b∈G，c∈G,有（a＊b）＊c=a＊（b＊c）。恒等元：在集合中存在一个恒等元，对集合中的任意元素a∈G,均有a*(恒等元)