控制工程-频率分析

第五章控制系统的频域分析学习目的与要求：•1掌握频率特性的基本概念•2熟悉典型环节的频率特性并能熟练运用•3掌握系统开环对数频率特性的绘制方法系统的数学模型一、系统的数学模型1、定义：定量描述系统的动态性能，揭示系统的结构参数与动态性能之间关系的数学表达式。数学模型是分析和设计自动控制系统的基础。（微分方程、差分方程、传递函数、频率特性、方框图等）原因：表面上看来毫无共同之处的控制系统，其运动规律可能完全一样，可以用一个运动方程来表示不单独地去研究具体系统而只分析其数学表达式，以代表数学表达式相同的任何系统。3.表示形式a.微分方程b.传递函数c.频率特性关系：线性系统传递函数微分方程频率特性拉氏变换傅氏变换)()()(tutudttduRCioo11)(TssG同一个系统，可以选用不同的数学模型:时域：传递函数频域：频率特性。特点：1时间响应的概念系统在输入信号的作用下，输出随时间的变化规律（系统的数学模型的时域解）。系统在输入信号的作用下，输出量怎样按输入量的作用而变化。（系统对输入如何产生响应）一、时间响应的概念1、所谓“响应”就是“输出”（能测量和观察到）2、时间响应：动态特性：（2）稳态响应：时间t趋于无穷大时的时间响应。它表现了系统的准确程度xo(t)瞬态响应（过渡过程）稳态响应t03、时间响应（1）瞬态响应：系统到达稳定状态前的时间响应。反映动态特性、快速性、稳定性。频率分析法：借助系统的频率特性分析系统的性能，又称频率特性，频率法。特点：1图解法2不直接求解系统微分方程而间接地运用系统的开环频率特性分析闭环的响应。3估计影响系统性能频率范围，为系统排除噪音，从而改善系统性能设计出合理的通频带。4对控制系统中各种振动问题，频域法可给出明确的结果和概念。若输入电压为正弦信号，tUtuimisin)(TtimimoeTTUTtTUtu22221)arctansin(1)(由上式可见，第一项为输出电压的稳态分量，第二项为瞬态分量。如图所示RC电路。uo(t)Rui(t)Ci(t)T为电路的时间常数，T=RC。5-1频率特性的基本概念一、概念设系统传递函数为G(s)。给系统输入一个正弦信号为tXtximisin)(式中：Xim——正弦输入信号的振幅；ω——正弦输入信号的频率。)](sin[)()(tXAtximo系统的稳态输出量写成•线性定常系统正弦信号响应包含瞬态响应和稳态响应a瞬态响应不是正弦波b稳态响应与输入的正弦信号频率相同的正弦波形，但振幅和相位都与输入量不同。•频率响应：线性系统对正弦信号的稳态响应。TtimimoeTTUTtTUtu22221)arctansin(1)(2频率特性求法(1)求稳态解法由已知系统的微分方程或传函，把输入用正弦函数代入，求其稳态解。(2)根据系统的传递函数来求取。将s=jω代入传递函数中，可直接得到系统的频率特性。这种以jω代替s由传递函数获得频率特性的方法，对于线性定常系统是普遍适用的。(3)实验测得。经常采用的是后两种方法。主要讨论根据传递函数求取系统的频率特性。xckxtf)(kcxf(t)=FsinωtkcssFsX1)()(22)(sFsF221)(1)(sFkcssFkcssX2222111sdbsTsasFTsk222211)sin(1)(TTFekTarctgtTkFtxTt例：机械系统，k是弹簧刚度系数,单位N/m,c是阻尼系数，单位是m/s·N。输入正弦力f(t)=Fsinωt时，求其位移x(t)的稳态输出。稳态位移输出)](sin[)](sin[)()sin(1)(22tXtFATarctgtTkFtxFXTkA2211)(kcTTarctg)(式中)](sin[)](sin[)()sin(1)(22tXtFATarctgtTkFtx结论：1频率响应是时间响应的一种特例；2正弦输入及稳态输出是频率相同的正弦信号；3位移输出幅值X与输入力的幅值F成比例，比例系数A(ω)及输入输出间的相位移φ(ω)是ω的函数，与系统参数有关。G(s)记录纸瞬态稳态纸带运动方向0R0AR2πC(s)R(s)c(t)r(t)图1频率响应图示2频率特性求法(2)根据系统的传递函数来求取。将s=jω代入传递函数中，可直接得到系统的频率特性。(3)实验测得。(1)求稳态解法由已知系统的微分方程或传函，把输入用正弦函数代入，求其稳态解。根据传函求频率特性例：11)(TsksGTarctgjG)()(11)(TjkjG2211)()(TkAjG将变量s用纯虚数jω代替kcxf(t)=Fsinωt3频率特性的特点(1)一般形式就象传函一样表示系统的性能。)()()(jXjXjGio)()()(jVUjGU(ω)是实部，称为实频特性V(ω)是虚部，称为虚频特性(2)量纲与输出输入信号之比量纲相同。(3)G(jω)是一个复变函数，可表示在复平面上。G(jω)的模、辐角、实部、虚部之间的换算关系。)()(|)(|)(22VUjGA)()()()(UVarctgjG)(sin)()(Im)()(cos)()(Re)(AjGVAjGU)](sin)()[cos()()()(jAeAjGjV(ω)ImG(jω)U(ω)Re0φ(ω)G(jω)矢量图三频率特性的物理意义例机械系统，设k=10N/m，c=10N·s/m，输入幅值为1N正弦力，两种频率下即f(t)=sint和f(t)=sin100t时，求系统的稳态位移输出。解由频率特性的模和幅角来求输出，系统的频率特性可直接由其传递函数获得，即TjkjG1/1)(式中，T=c/k=1s当ω=1s-1时G(jω)的模和幅角为NmTTjkA/21.011.01/1)(22Tjk1/1)(kcxf(t)=Fsinωt451)(arctg)45sin(21.0)(ttx当ω=100s-1时，NmA/1001.010011.0)(24.89100)(arctg系统的位移幅值随着输入力的频率增大而减小，位移的相位滞后量也随频率的增高而加大。)4.89100sin(1001.0)(ttx2211.0)(TA微分方程t为变量的函数传递函数微分算法用s代替频率特性jω代替s数学形式不同,均表示系统运动关系，从不同角度揭示系统内在运动规律小结：§5-2频率特性图形表示法—对数频率特性图一、对数频率特性图（Bode图）对数频率特性图（Bode图）将幅频和相频特性分别画出，并按对数分度或运算，使系统的分析和设计变得十分简便。利用对数可以把两个数的相乘变成其对数相加的运算，给绘图带来方便。将幅频特性A(ω)取常用对数后再乘以20，称为对数幅频特性，为书写简便，以L(ω)表示20lgA(ω)。一.伯德（Bode）图构成横坐标：非线性分度按对数分度，在对数坐标纸上标注ω的自然对数。横坐标上取两点ω2/ω1=10，两点间距离lg(ω2/ω1)=lg10=1一个十倍频程(用dec表示)：无论起点如何，只要角频率ω变化10倍横轴上线段长均等于1个单位。需要注意的是，在以lgω划分的频率轴(横坐标)上，一般只标注ω的自然数值。纵坐标：线性分度L(ω)=20lgA(ω)(dB)线性分度φ(ω)(°)ω123456789lgω00.30.480.60.690.780.850.90.95二、典型环节的对数频率特性1.比例环节[G(s)=K]0lg20dBKLLdB1K1K00o0其频率特性为G(jω)=K，其幅频特性和相频特性为KKVUjG0)(22200arctanarctan)(KUVjG对数幅频特性：幅值等于20lgK(dB)的一条水平直线。对数相频特性：相角为零，与频率无关。2.积分环节[G(s)=1/s]ojjL901lg201lg20402000.010.1110jLm1decdB20csrada-20dBsrad100.010.11o0o90b积分环节的频率特性为11)(jjjG对数幅频特性：斜率为-20dB/dec的直线，且与零分贝线相交于ω=1点，L(ω)=0对数相频特性：–90°的水平直线，与频率ω无关。当有n个积分环节串联时，即njjG)(1)(对数幅频特性120lg()20lg20lgnGjn0()()90Gjn对数相频特性)(LdB0.010.1110100020402040()0.010.111010000045090045090018040/dBdec3.微分环节[G(s)=s]90lg20lg20jjLdB0LdecdB201dBLo90abo0其频率特性为G(jω)=jω对数幅频特性：L(ω)=20lgω一条通过ω=1，斜率为20dB/dec的直线。对数相频特性：φ(ω)=90°，一条水平线jω、1/jω的频率特性不同:对数幅频特性曲线的斜率和相角都相差一个负号4.惯性环节11)(TssG频率特性：TarctgTjTL221lg2011lg20实频和虚频特性为：111)()(11)(2222TTjTjVUTjjG22222222211)1(1)(TTTVUjGTUVjGarctan)()(arctan)(低频段当ωT1时，(ωT)2可以忽略不计dBL01lg20)(幅值为0的低频渐近线高频段当ωT1时：)lg(20)(lg20)(2TTL绘制波德图时，分析曲线的走向，画出渐近线。221lg20)(TL))((精确特性L2010010dBsrad/T1))((渐近特性LT10T1.0decdB/20）、幅频特性（a高频段渐近线：当ω=1/T时，L(ω)=0；ω=10/T时，L(ω)=-20dB；ω=100/T时，L(ω)=-40dB；规律：频率每增加10倍，L(ω)的值下降20dB，高频段是一条斜率为-20dB的渐近线。))((精确特性L2010010dBsrad/T1))((渐近特性LT10T1.0decdB/20）、幅频特性（a)lg(20)(lg20)(2TTL低频段和高频段的对数幅频曲线分别趋近于其渐近线。两渐近线在ω=1/T处的值都是L(ω)＝0相交点的频率ω=1/T称为转折频率（转角频率）。))((精确特性L2010010dBsrad/T1))((渐近特性LT10T1.0decdB/20）、幅频特性（a转折频率dBTL01.32lg201)(lg20)(2两条渐近线代替实际的对数幅频特性曲线将产生误差，最大的误差发生在转折频率1/T处。因渐近线在1/T的值为0dB，实际曲线值为：))((精确特性L2010010dBsrad/T1))((渐近特性LT10T1.0decdB/20）、幅频特性（adBTL01.32lg201)(lg20)(2ω=1/T，实际曲线值为：a.低频段近似特性:L(ω)=0dB；b.高频段近似特性:L(ω)=-20lgωT;c.ω=1/T处近似特性:L(1/T)=0dB，精确特性：-3.01d