控制工程课件 第六章 系统稳态误差及稳定性分析(2)

第六章系统稳态误差及稳定性分析第二节控制系统的稳定性判据2007.11.161.系统稳定性的概念若系统由于输入量所引起的瞬态响应，在外加信号消失后，随时间的推移而衰减并趋于零，则称该系统为稳定系统。—不稳定的平衡点系统的稳定性，是系统本身的固有特性。只与系统的结构参数有关，而与输入量无关稳定性分析示意图—稳定的平衡点系统在初始条件的影响下，其过渡过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零，称为稳定2.系统稳定的条件设系统的传递函数为,方程B(s)=0称为系统的特征方程)()()(sBsAsG系统稳定的充要条件为：系统特征方程的全部根的实部为负。若系统特征根中有部分为零或者为纯虚数，则系统在输入量撤销后，随时间的推移而趋于一常数或者等幅振荡，称为临界稳定。从工程意义上来说，是不稳定的。系统不稳定产生的后果实际上，物理系统输出量只能增加到一定的范围，此后或者受到机械止动装置的限制，或者使系统遭到破坏，也可能当输出量超过一定数值后，系统变成非线性的，而使线性微分方程不再适用。①劳斯判据3.系统稳定性的判据根据系统的特征方程可判断系统的稳定性。那么如何判定呢？根据系统特征方程中系数与根的关系，间接判断出特征方程的根的情况。设系统的特征方程为mmmmmbsbsbsbsbsB122110)(则系统稳定的必要条件为：特征方程B(s)=0的各项系数bi的符号均相同且不等于零。系统稳定的必要条件劳斯在此基础上提出了系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件为：劳斯数列表中第一列各项的符号均为正且不等于零。若有负号存在，则发生符号的变化次数，就是不稳定根的个数。mmmmmbsbsbsbsbsB122110)(如则劳斯数列表为smb0b2b4b6…sm-1b1b3b5b7…sm-2C1C2C3C4…sm-3D1D2D3D4…………………s0…130211bbbbbC150412bbbbbC170613bbbbbC121311CCbbCD131512CCbbCD141713CCbbCD其中两个特殊情况：a.劳斯数列表中任一行第一项为零，其余各项不为零或者部分不为零解决方法：用一任意小的正数ε代替零的那一项，然后继续计算。若的上下项的符号不变，且第一列所有项的符号为正，则方程有共轭虚根，系统属临界稳定。b.劳斯数列表中任一行全为零解决方法：利用全为零的这一行的上一行的各项作系数组成一个多项式方程（最高阶次为该行的相应阶次，相邻项的阶次相差为2）；对辅助方程取导数得一新方程；以新方程的系数代替全为零的那一行。例1已知系统的特征方程为B(s)=s4+8s3+17s2+16s+5=0解用劳斯判据判断系统的稳定性。s41175s38160s2C1=C2=0s1D1=00s0E1=00劳斯数列表为130211bbbbbC8161178150412bbbbbC121311CCbbCD155816151513.355例2已知系统特征方程为s3-3s+2=0。判断系统的稳定性，若不稳定，试确定不稳定根的个数。解系统不稳定s31-30s20≈ε20s1C100s0D1=20023故系统有两个不稳定根。例3已知系统的传递函数为800200881422017123)(234523sssssssssG判别系统的稳定性解080020088142)(2345ssssssB列劳斯数列表3028811421C2002800120022C03C7.7430)200(288301D8003002800302DS5114200S4288800S3-30-2000S274.78000S112100S080000例4++-Xi(s)Xo(s)+1sK)2(2nnss解系统传递函数为)2(11)2(1)(22nnnnsssKsssKsG222)2(nnnKsssKs222322nnnnKsssKs已知ξ=0.2,ωn=86.6，确定K取何值时系统才能稳定。22232)(nnnKssssB=s3+34.6s2+7500s+7500Ks3+34.6s2+7500s+7500K所以，劳斯数列表为s3175000s234.67500K0s1C100s07500K006.34750075006.341KC∴K034.6x7500-7500K0即K34.6②胡尔维茨判据设系统的特征方程为mmmmmbsbsbsbsbsB122110)(则系统稳定的充要条件是特征方程各项系数均大于零；特征方程各项系数组成的行列式均为正，即b1b3b5…b2k-1b0b2b4…b2k-20b1b3…b2k-30b0b2…b2k-400b1…b2k-5…000…bkD1D2D3D10Dm0D20…Dm-10Dm-30Dm-50例5已知系统传递函数为解KsssKsG23)(23用胡尔维茨判据确定系统稳定时的K。3K012003K特征方程的系数组成的行列式为D1=3D2=6-K0D3=6K-K20{0K6模拟控制与数字控制最大的区别在于控制器处理的信号模拟量与数字量模拟控制要处理的是连续的模拟量，并以此为基础完成操作量运算。数字控制要处理的则是采样周期为Ts的采样离散时间信号，它是一种非连续的数字量，操作量的运算也是在这个基础上进行的。模拟控制系统中，控制量有电压、速度、压力和温度等一般的物理量，这些量都是模拟量。此外，因为操作控制量的执行机构，多半是类似马达和油压缸的模拟式机械，所以输入到控制对象中的操作量也是模拟量。在模拟控制系统中，控制器的输入量采用了模拟量，操作量则通过拟计算电路进行运算。在数字控制系统中，则是先对目标值控制量的反馈值之间进行模拟／数字转换，然后将数值化后的数字量输到控制器中。控制器利用数值化后的目标值和控制量的反馈值，再对操作量进行数值运算，然后输送到D／A变换器中。D／A变换器把数字量变换成模拟量，然后送到控制对象中。模拟控制系统与数字控制系统的比较MATLAB简介Matlab是一个高级的数学分析与运算软件，可以用作动态系统的建模与仿真。非常适用于矩阵的分析与运算，具有丰富的控制理论与CAD应用程序集（工具箱），如控制系统、信号处理、最优控制、模糊控制工具箱等。Matlab的基本元素是双精度复数矩阵。也包含实数和复数矢量与常数，也间接包含多项式与传递函数。设一单位负反馈的开环传递函数如下,试求其闭环传递函数,并绘制输出量阶跃响应曲线和脉冲响应曲线时域分析)17.05.0)(13.0(8.0)(2sssssG首先根据开环传递函数求出闭环传递函数,再用部分分式展开法,进行拉普拉斯反变换,求出瞬态响应;然后根据不同时刻的t值,求出对应的输出,再绘出系统在不同输入下的响应曲线.该方法繁琐,计算量大,且无法绘出准确的响应曲线.传统方法利用MATLAB求解根据MATLAB提供的命令和函数，通过编写m文件，可以很容易地完成题目要求。在MATLABCommandWindows下新建一个M文件，程序为：Clearall,closeall;a0=[00000.8];b1=[10];b2=[0.31];b3=[0.50.71];b0=conv(b1,conv(b2,b3));aa=a0;bb=b0+a0;disp(‘SystemClosedLoopTransferFunctionis:’)aabbt=0:0.1:20y=step(aa,bb,t);yy=impulse(aa,bb,t);)17.05.0)(13.0(8.0)(2sssssGsssssssssGb23423471.015.08.0171.015.08.0)(8.071.015.08.0234ssssplot(t,y);title(‘系统阶跃响应’)；xlabel(‘时间’)；ylabel(‘响应值’)；Grid;plot(t,yy);title(‘系统脉冲响应’)；xlabel(‘时间’)；ylabel(‘响应值’)；Grid;运行该程序,可得到如下结果:系统的闭环传递函数系统为:SystemClosedLoopTransferFunctionis:aa=00000.8bb=0.150.71110.8练习题已知B(s)=2s4+s3+3s2+5s+10=0，试用胡氏判据确定系统的稳定性。提示D2=b1b3b0b2=1523=-7所以系统不稳定)11.0()15.0(8)(2ssssGk作业（1）已知单位负反馈系统的开环传递函数为求输入信号为1(t)、t和t2时系统的稳态误差（2）已知单位负反馈系统的开环传递函数为)125.0)(11.0()(sssKsGk求系统稳定时K值的范围