相交线与平行线-全章知识点归纳及典型题目练习

-1-15相交线与平行线知识点梳理汇总一、知识结构图余角余角补角补角角两线相交对顶角同位角三线八角内错角同旁内角平行线的判定平行线平行线的性质尺规作图二、基本知识提炼整理（一）余角与补角1、如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角，简称为互余，称其中一个角是另一个角的余角。2、如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角，简称为互补，称其中一个角是另一个角的补角。3、互余和互补是指两角和为直角或两角和为平角，它们只与角的度数有关，与角的位置无关。4、余角和补角的性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。5、余角和补角的性质用数学语言可表示为：（1）00001290(180),1390(180),则23(同角的余角或补角相等)。相交线与平行线-2-（2）00001290(180),3490(180),且14,则23(等角的余角（或补角）相等)。6、余角和补角的性质是证明两角相等的一个重要方法。（二）对顶角1、两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角是对顶角。2、一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。3、对顶角的性质：对顶角相等。4、对顶角的性质在今后的推理说明中应用非常广泛，它是证明两个角相等的依据及重要桥梁。5、对顶角是从位置上定义的，对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角。（三）同位角、内错角、同旁内角1、两条直线被第三条直线所截，形成了8个角。2、同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同位角。3、内错角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的一对角叫做内错角。4、同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫同旁内角。5、这三种角只与位置有关，与大小无关，通常情况下，它们之间不存在固定的大小关系。（四）六类角1、补角、余角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角六类角都是对两角来说的。2、余角、补角只有数量上的关系，与其位置无关。3、同位角、内错角、同旁内角只有位置上的关系，与其数量无关。4、对顶角既有数量关系，又有位置关系。-3-（五）平行线的判定与性质平行线的判定平行线的性质1、同位角相等，两直线平行2、内错角相等，两直线平行3、同旁内角互补，两直线平行4、平行于同一条直线的两直线平行5、垂直于同一条直线的两直线平行1、两直线平行，同位角相等2、两直线平行，内错角相等3、两直线平行，同旁内角互补4、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行（六）尺规作线段和角(了解)1、在几何里，只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图。2、尺规作图是最基本、最常见的作图方法，通常叫基本作图。3、尺规作图中直尺的功能是：（1）在两点间连接一条线段；（2）将线段向两方延长。4、尺规作图中圆规的功能是：（1）以任意一点为圆心，任意长为半径作一个圆；（2）以任意一点为圆心，任意长为半径画一段弧；5、熟练掌握以下作图语言：（1）作射线××；（2）在射线上截取××=××；（3）在射线××上依次截取××=××=××；（4）以点×为圆心，××为半径画弧，交××于点×；（5）分别以点×、点×为圆心，以××、××为半径作弧，两弧相交于点×；（6）过点×和点×画直线××（或画射线××）；（7）在∠×××的外部（或内部）画∠×××=∠×××；-4-ODCBA6、在作较复杂图形时，涉及基本作图的地方，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了。（1）画线段××=××；（2）画∠×××=∠×××；第五章相交线与平行线(分节知识点)5.1.1相交线（详见课本第2页）1、相交线的概念：在同一平面内，如果两条直线只有一个点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点。如图所示，直线AB与直线CD相交于点O。2、对顶角的概念：若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的延长线，那么这两个角叫做对顶角。如图所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。3、对顶角的性质：对顶角。4、邻补角的概念：如果把一个角的一边延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。如图所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。5.1.2垂线（详见课本第3页）1、垂线的概念：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是角时，就说这两条直线互相，其中一条直线叫做另一条直线的，它们的交点叫做。2、垂线的性质（1）（垂线公理）性质1：在同一平面内，经过直线外或直线上一点，有且只有条直线与已知直线垂直，即过一点有且只有条直线与已知直线。（2）（垂线推理）性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。即垂线段最。3、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的线段的长度，叫做点到直线的。4、垂线的画法（工具：三角板或量角器）画法指点：⑴一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上，⑵二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上，⑶三画：沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线。5.1.3同位角、内错角、同旁内角（详见课本第6页）1、三线八角两条直线被第条直线所截形成个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角。如图6，直线ba,被直线l所截4321ABCDO21OCBAABCD1图2图1-5-①∠1与∠5在截线l的同侧，同在被截直线ba,的上方，叫做角（位置相同）同位角是“F”型②∠5与∠3在截线l的两旁（交错），在被截直线ba,之间（内），叫做角（位置在内且交错）内错角是“Z”型③∠5与∠4在截线l的同侧，在被截直线ba,之间（内），叫做角。同旁内角是“I”型2、如何判别三线八角判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”，有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看，有时又需要把图形补全。如图温馨提示：在确定同位角、内错角、同旁内角时，先要弄清哪两条直线被哪一条直线所截，然后依据它们的定义，也可由它们的名字的提示，准确找到所需要的角。同学们要注意：并不是同位角、内错角就相等，同旁内角就互补，而只有当这两条直线平行时，才会有这个性质。5.2.1平行线（详见课本第11页）1、平行线的概念：在同一平面内，不的两条直线叫做平行线。2、两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴；⑵。（通常把的两直线看成一条直线）.垂直是特殊的相交关系。判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：3、平行线的表示方法平行用“”表示，如图8所示，直线AB与直线CD平行，记作AB∥CD，读作AB平行于CD。4、平行线的画法：5、平行线的基本性质（1）平行公理：经过直线一点，有且只有条直线与已知直线。（2）平行推理：如果两条直线都和第条直线平行，那么这两条直线也。如左图8所示5.2.2平行线的判定（详见课本第12页）1、平行线的判定方法：（1）判定1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简称：同位角，两直线（2）判定2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。简称：内错角，两直线（3）判定3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。简称：同旁内角，两直线abcABCDEF12346BAD2345789FEC图7DCBA图8-6-（4）平行线的概念：如果两条直线没有交点（不），那么两直线平行。（5）两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线。（平行于同一条直线的两条直线也）（6）在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线。（垂直于同一条直线的两条直线）5.3.1平行线的性质（详见课本第18页）1、平行线的性质：（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简记：两直线，同位角。（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简记：两直线，内错角。（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简记：两直线，同旁内角。2、两条平行线的距离直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离。3．平行线的性质与判定是互逆的关系:○1两直线平行同位角相等；○2两直线平行内错角相等；○3两直线平行同旁内角互补。5.3.2命题、定理（详见课本第20页）1、命题的概念：一件事情的语句，叫做命题。2、命题的组成：每个命题都是、两部分组成。（1）题设是事项；（2）结论是由已知事项的事项。3、命题的表述句式：命题常写成“……，……”的形式。具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是，用“那么”开始的部分是。4.命题的真假：正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题。5.定理：经过推理得到的真命题称为定理。5.4平移（详见课本第28页）1、平移变换的概念：把一个图形沿某一方向移动，会得到一个新图形的平移变换。2、平移的特征：①大小：；②形状：；③位置：；④对应点的连线：且。（1）经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化。（2）经过平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等。3.平移作图：平移作图的依据是平移的特征，其关键是确定平移后对应点的位置，并且在作图时要注意平移的方向和距离．ADBECF图7-7-【考点例析】一、概念型考题主要考察相交线和平行线的定义、性质、定理，常以选择题为主要题型例1．如图1，下列条件中，不能判断直线1∥2的是（）（A）∠1=∠3（B）∠2=∠3（C）∠4=∠5（D）∠2+∠4=1800分析：本例可用平行线的判定方法采用排除法使问题得以解决．A中∠1与∠3为内错角，∠1=∠3可得1∥2；C中∠4与∠5是两个相等的同位角，可得1∥2；D中∠2与∠4是两个互补的同旁内角，可得1∥2只有B不能确定．答案：应选（B）．点评：本题主要考察相交线和平行线的定义、性质、定理的理解与运用情况．二、计算型考题主要考察平行线的性质；互余、互补角的性质，常以填空题为主要题型；例2．如图2,ab∥，MN，分别在ab，上，P为两平行线间一点，那么123（）A．180B．270C．360D．540分析：此题考查平行线的性质.点P为两平行线间折线的拐点，可过此点作a或b的平行线，并证明与b或a平行，从而可利用平行线的性质求解.此题也可延长MP与直线b相交，从而可利用三角形的外角的性质及平行线的性质求解.此类题的解题思路是添加辅助线，构造两平行线间的截线，或构造三角形，再利用有关图形的性质证明求解.解：过点P作PA∥a，则123180°＋180°=360°，所以选择C。点评：本题虽然是选择题型，它重点考查学生运用平行线的性质、互余、互补角的性质等知识通过简单的推理计算来解决问题的．三、说理型考题例3．小明到工厂去进行社会实践活动时，发现工人师傅生产了一种如图3，所示的零件，工人师傅告诉他：AB∥CD，∠A=40°，∠1=70°，小明马上运用已学的数学知识得出了∠C的度数，聪明的你一定知道∠C=．分析：本题源于生活实际问题，但考生可借助平行线的性质定理和EBACDF1图32134512图1abMPN123图2-8-三角形内角和定理，由此可获得两种解题思路．解：方法1：连结AC，由AB∥CD，得∠BAC+∠ACD=180°，从而∠ECD=180°-40°-（180°-70°）=30°方法2：过E作EF∥AB，由平行线的性质定理，得∠BAE=∠AEF，∠DCE=∠FEC，从而∠DCE=∠1-∠A=70°-40°=30°．点评：本题主要运用了平行线的性质定理和三角形内角和定理，借助于添加辅助线的方法，将问题转化为可解问题，今后同学们经常会遇到这种带有“折线”、“拐角”类的题目，解决这类问题，必须要掌握“平移”与“分割”的思想，解决问题的办法有二：一要连结线段，构成三角形，然后运用三角形内角和定理；二是过“拐点”作平行线将一个角分成两个角，然后再运用平行线的性质定理，问题便自然得到解决，但解本题时，还要注意