球坐标系

x横轴y纵轴z竖轴定点o三个坐标轴的正方向符合右手系.一、空间点的直角坐标(一)空间直角坐标系建立Ⅶxyozxoy面yoz面zox面(二）空间直角坐标系共有八个卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ空间的点有序数组),,(zyx11特殊点的表示:)0,0,0(O),,(zyxMxyzo)0,0,(xP)0,,0(yQ),0,0(zR)0,,(yxA),,0(zyB),,(zoxC坐标轴上的点RQP,,坐标面上的点CBA,,.21221221221zzyyxxMM特殊地：若两点分别为,),,(zyxM)0,0,0(OOMd.222zyxxyzo1MPNQR2M设),,(1111zyxM、),,(2222zyxM为空间两点三.空间两点间的距离在空间任取一点O作为极点,从O引两条互相垂直的射线ox和oz作为极轴,再规定一个长度单位和射线ox绕oz轴旋转所成角的正方向,这样就建立了一个球坐标系.rxzo(,,)Mr一.球坐标系二、在球坐标系下的坐标为P有序数组段的角，这里OP的球面坐标．就叫做点M逆时针方向转到有向线(r,面上的投影，这样的在点xoyMzyx为空间内一点，则点设MM),,(可用来确定，三个有次序的数r,,间的距离，与点点MO为原r其中z轴正向所夹的角，与为有向线段OM轴按即x为半平面XOZ到半平面MOZ的角.(,,)MrxzorP这里是矢径,相当于经度,相当于余纬度。r2000,,,,r此时,空间上的点(除直线OZ上的点),与有序数组建立一一对应关系.)0,0)(,,(rrrxzo(,,)MrP二、在球坐标系下的坐标例建立适当的球坐标系,表示棱长为1的正方体的顶点坐标.O(0,0,0))0,2,1(AC'D'B'A'COAyzxB)4,2,2(B)2,2,1(C)0,4,2('A)0,0,1('D)2,4,2('C'3(3,arccos,)34B二、在球坐标系下的坐标1.互化条件:(1).空间直角坐标系的原点,OX轴及OZ轴,分别与球坐标系的极点,OX轴及OZ轴重合;(2).长度单位相同.三.球坐标与空间直角坐标的互化rxzo(,,)Mrxyyz2.互化公式cossinsincossinrzryrxrzyx2222题型:1.求点的球坐标;2.球坐标与直角坐标的互化.练习:51.(8,,)362.3Mr将化为直角坐标。球坐标系中，满足方程的点所构成的图形是什么？其直角方程是什麽。),,(43269222zyx球面。cossinsincossinrzryrxrzyx2222一柱坐标系注意：柱面坐标系就是平面极坐标系加上轴zxzo),,(zP)0,,(Qz.),,,(.,,),,(,就叫点的柱坐标组数组成的有序则这样的三个数的极坐标为平面上的投影并且它在极坐标为空间上的一点设zzQP二.柱面坐标系的三坐标面是:为常数圆柱面为常数θ半平面为常数z平面),,(zP)0,,(Qxyzozz.,,,Rz200规定：zQPxOQOQ,,,如图此时,空间的点(除直线Oz上的点)与有序数组建立一一对应关系.)0)(,,(zzo),,(zP)0,,(Qzx三柱坐标系规定四.柱坐标与直角坐标的互化.,sin,coszzyxzzxxyyx)(tan022或zo),,(zP)0,,(Qzyx),,(zyxPxy),,,(Rz200设点的直角坐标为(1，1，1)，求它在柱坐标系中的坐标.2424点在柱坐标系中的坐标为（，，1）.注：求θ时要注意角的终边与点的射影所在位置一致.练习:zzxxyyx)(tan022解：由解得.,42设点的直角坐标为(1，1，1)，求它在球坐标系中的坐标.2222sincos363,cos;sin;33sinsincos32sin.26323arcsin,arcsin).32xyzrxrryrzr由知：该点为（，数轴平面直角坐标系平面极坐标系空间直角坐标系球坐标系柱坐标系坐标系是联系形与数的桥梁，利用坐标系可以实现几何问题与代数问题的相互转化，从而产生了坐标法.坐标系小结3、点)5,3,4(A在xoy平面上的射影点为___________,在yoz面上的射影点为__________，在zox轴上的射影点为_________，在轴上x的射影点为________，在轴上x的射影点为______，在轴上z的射影点为_______;4、已知空间直角坐标系下，立方体的4个顶点为),,(aaaA，),,(aaaB，),,(aaaC和),,(aaaD，则其余顶点分别为_________，______________，__________，_________;5、已知三角形的三个顶点)4,1,2(A，)6,2,3(B，)2,0,5(C则（1）过A点的中线长为__________;3、点)5,3,4(A在xoy平面上的射影点为___________,在yoz面上的射影点为__________，在zox轴上的射影点为_________，在轴上x的射影点为________，在轴上x的射影点为______，在轴上z的射影点为_______;4、已知空间直角坐标系下，立方体的4个顶点为),,(aaaA，),,(aaaB，),,(aaaC和),,(aaaD，则其余顶点分别为_________，______________，__________，_________;5、已知三角形的三个顶点)4,1,2(A，)6,2,3(B，)2,0,5(C则（1）过A点的中线长为__________;（2）过点的B中线长为________；（3）过点的B中线长为___________；6、已知平行四边形ABCD的两个顶点)5,3,2(A,)2,3,1(B的及它的对角线的交点)7,1,4(E，则顶点的坐标D为_________，顶点的坐标D为___________；7、若直线段落AB被点)2,0,2(C及点)0,2,5(D内分为3等分，则A端点的坐标为_________，B端点的坐标为_________.二、在yoz面上，求与三个已知点)2,1,3(A，)2,2,4(B和)1,5,0(C等距离的点.练习题答案二、(0,1,-2).一、1、Ⅳ,Ⅴ,ⅧⅢ；2、(-3,2,1),(3,2,-1),(-3,-2,-1),(-3,-2,1),(3,2,1),(3,-2,-1)；3、(-4,3,0),(0,3,5),(-4,0,5),(-4,0,0),(0,3,0),(0,0,5)；4、),,,(aaa),,(),,,(),,,(aaaaaaaaa；5、7,43021,26221；6、(6,1,19),(9,-5,12)；7、(-1,2,4),(8,-4,-2)；8、4141iixx,4141iiyy,4141iizz.C'D'B'A'COAByzx