6矢量分析：旋度、散度、梯度

§1.1矢量表示法和运算§1.2通量与散度,散度定理§1.3环量与旋度,斯托克斯定理§1.4方向导数与梯度,格林定理§1.5曲面坐标系§1.6亥姆霍兹定理第一章矢量分析Chapter1VectorAnalysis基本要求1.掌握矢量在正交坐标系中的表示方法2.掌握矢量的代数运算及其在坐标系中的物理意义3.掌握矢量积、标量积的计算4.了解矢量场散度的定义，掌握其计算方法和物理意义；掌握散度定理的内容，并能熟练运用。5.了解矢量场旋度的定义，掌握其计算方法和物理意义；掌握斯托克斯公式的内容，并能数量应用。6.了解标量场的梯度的定义，掌握其计算方法和物理意义7.正确理解标量格林定理和矢量格林定理的内容，并学会应用8.了解曲面坐标系中矢量的表示方法、三种坐标系的转换9.了解曲面坐标系中散度、旋度的表示线元、面积元、体积元的表示10.正确理解亥姆霍兹定理的内容，并能正确应用。物理量的表示•矢量：大写黑体斜体字母A大写斜体字母加表示矢量的符号•标量：小写斜体字母u•单位矢量：小写上加倒勾xˆexAxe若一个矢量在三个相互垂直的坐标轴上的分量已知,这个矢量就确定了。例如在直角坐标系中,矢量A的三个分量模值分别是Ax,Ay,Az,则zyxAzAyAxAˆˆˆ222zyxAAAA矢量的模Magnitudeofvector§1.1矢量表示法及其运算1.1.1矢量表示法及其和差cosˆcosˆcosˆˆˆˆˆzyaxAAzAAyAAxAAAzyxA的单位矢量Unitvector和或差:VectoradditionorsubtractionzyxBzByBxBˆˆˆ则)(ˆ)(ˆ)(ˆzzyyxxBAzBAyBAxBA图1-2矢量的相加和相减矢量的相乘有两种定义:标量积(点乘)和矢量积(叉乘)。ABaBABAcos它符合交换律:ABBA1.1.2标量积和矢量积定义：标量积A·B是一标量,其大小等于两个矢量模值相乘,再乘以它们夹角αAB(取小角,即αAB≤π)的余弦:一、标量积Dotproduction特点：1、|B|cosAB是矢量B在矢量A上的投影，|A|cosAB是矢量A在矢量B上的投影。B矢量在A矢量上的投影（或者说矢量B在A上的分量）等于A•B/|A|2、2222AAAAAABABABABAzyxzzyyxx并有0ˆˆˆˆˆˆxzzyyx1ˆˆˆˆˆˆzzyyxx互相垂直的两个矢量的点积为03、4、定义：矢量积A×B是一个矢量,其大小等于两个矢量的模值相乘,再乘以它们夹角αAB(≤π)的正弦,其方向与A,B成右手螺旋关系,为A,B所在平面的右手法向:nˆ1、它不符合交换律。由定义知,)(ABBAABaBAnBAsinˆ二、矢量积Crossproduction特点：2、yxzxzyzyxzzyyxxˆˆˆ,ˆˆˆ,ˆˆˆ0ˆˆˆˆˆˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)ˆˆˆ()ˆˆˆ(xyyxxxxzyzzyzyxzyxBABAzBABAyBABAxBzByBxAzAyAxBAA×B各分量的下标次序具有规律性。例如,分量第一项是y→z,其第二项下标则次序对调:z→y,依次类推。并有xˆzyxzyxBBBAAAzyxBAˆˆˆ图1-3矢量乘积的说明矢量的三连乘也有两种。标量三重积:Scalartripleproduction)()()(BACACBCBA矢量三重积:Vectortripleproduction)()()(BACCABCBA公式右边为“BAC-CAB”,故称为“Back-Cab”法则,以便记忆。1.1.3三重积ABC§1.2通量与散度,散度定理Flux,divergenceofavectorfield,divergencetheorem§1.2.1矢量场的通量矢量场的空间变化规律通常用散度和旋度描述矢量场的通量定义：若矢量场A分布于空间中，在空间中存在任意曲面S，则为矢量A沿有向曲面S的通量。若S为闭合曲面物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的矢量通量的代数和。在电场中，电位移矢量在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的电通量；在磁场中，磁感应强度在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的磁通量。SdSASSAd通过闭合面S的通量的物理意义：在直角坐标系中，通量可以写成dxdyAdzdxAdydzAdSAzySxSψa)若，穿出闭合曲面的通量多于穿入的通量，闭合面内有产生矢量线的正源；例如，静电场中的正电荷就是发出电力线的正源；0ψb)若，穿出闭合曲面的通量少于穿入的通量，闭合面内有吸收矢量线的负源；静电场中的负电荷就是接受电力线的负源；0ψc)若，闭合面无源。0ψ1.2.2散度Divergenceofavectorfield2、散度的物理意义1)矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性；2)矢量场的散度是一个标量；3)矢量场的散度是空间坐标的函数；VSVΔdlimdiv0ΔSAAAAdiv1、定义：当闭合面S向某点无限收缩时，矢量A通过该闭合面S的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场A在该点的散度，以divA表示，即3、直角坐标系中散度的表示zAyAxAzyxAdiv散度可用算符哈密顿表示为AAdiv哈密顿zzyyxxˆˆˆ拉普拉斯2222222zyx0divA0divA0divA正源负源无源散度的基本运算公式0CAAkkBBAAuuuAAAC为常矢量k为常数u为标量VdsAAdv上式称为散度定理,也称为高斯公式。1.2.3散度定理Thedivergencetheorem既然矢量的散度代表的是其通量的体密度,因此直观地可知,矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭面的总通量,即从数学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关系。从物理角度可以理解为高斯定理建立了区域V中的场和包围区域V的闭合面S上的场之间的关系。如果已知区域V中的场，根据高斯定理即可求出边界S上的场，反之亦然。散度定理：散度定理的物理意义：点电荷q在离其r处产生的电通量密度为2221/23ˆˆˆ,,()4qDrrxxyyzzrxyxr求任意点处电通量密度的散度▽·D，并求穿出r为半径的球面的电通量e[解]2223/2ˆˆˆˆˆˆ4()xyzqxxyyzzDxDyDzDxyz例5222/522222/32222/322234)(3)(14)(4rxrqzyxxzyxqzyxxxqxDx52252234,34rzrqzDryrqyDzy2222533()04yxzDDDqrxyzDxyzr可见，除点电荷所在源点（r=0）外，空间各点的电通量密度散度均为零。3222ˆ4444esssqDdsrrdsrqqdsrqrr这证明在此球面上所穿过的电通量的源正是点电荷q。e球面S上任意点的位置矢量为,ˆˆˆˆrrzzyyxxrSdsr解：3zzyyxxr3343343SVVrdsrdvdvrr例：矢量A沿某封闭曲线的线积分,定义为A沿该曲线的环量(或旋涡量),记为lAdl§1.3环量与旋度,斯托克斯定理Curl,circulation,TheStokes’stheorem1.3.1环量Curlofavectorfield为反映给定点附近的环量情况,我们把封闭曲线收小,使它包围的面积ΔS趋近于零,取极限0limlSAdlS这个极限的意义就是环量的面密度,或称环量强度。由于面元是有方向的,它与封闭曲线l的绕行方向成右手螺旋关系,因此在给定点处,上述极限值对于不同的面元是不同的。为此,引入旋度(curl或rotation):1.3.2旋度的定义和运算1、定义：max0[]ˆlimlSAdlCurlAnS2、旋度的物理意义1)矢量A的旋度是一个矢量,其大小是矢量A在给定点处的最大环量面密度,其方向就是当面元的取向使环量面密度最大时,该面元矢量的方向。2)它描述A在该点处的旋涡源强度。3)若某区域中各点curlA=0,称A为无旋场或保守场。nˆ矢量A的旋度可表示为密勒算子与A的矢量积,即curlAA计算▽×A时,先按矢量积规则展开,然后再作微分运算,得yAxAzxAzAyzAyAxAzAyAxzzyyxxAxyzxyzzyxˆˆˆ)ˆˆˆ(ˆˆˆ3、旋度的计算第一章矢量分析ˆˆˆxyzxyzAxyzAAA即4、旋度运算规则:2()()()()0()ABABAAAABBAABAAAA在直角坐标系中有2222ˆˆˆxyzAxAyAzA()0A任一矢量场A的旋度的散度一定等于零。任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度。0BBA任何旋度场一定是无散场一个矢量场的旋度是一个矢量函数，而一个矢量场的散度是一个标量函数；旋度描述的是矢量场中各点的场量与涡旋源的关系，而散度描述的是矢量场中各点的场量与通量源的关系；如果矢量场所在的全部空间中，场的旋度处处为零，则这种场中不可能存在旋涡源，因而称之为无旋场（或保守场）；如果矢量场所在的全部空间中，场的散度处处为零，则这种场中不可能存在通量源，因而称之为无源场（或管形场）；在旋度公式中，矢量场的场分量Ax、Ay、Az分别只对与其垂直方向的坐标变量求偏导数，所以矢量场的旋度描述的是场分量在与其垂直的方向上的变化规律；在散度公式中，矢量场的场分量Ax、Ay、Az分别只对x、y、z求偏导数，所以矢量场的散度描述的是场分量沿着各自方向上的变化规律。4、旋度与散度的区别：因为旋度代表单位面积的环量,因此矢量场在闭曲线l上的环量就等于l所包围的曲面S上的旋度之总和,即()slAdsAdl此式称为斯托克斯(Stokes)定理或斯托克斯公式。它可将矢量旋度的面积分变换为该矢量的线积分,或反之。1.3.3斯托克斯定理TheStokes’stheorem自由空间中的点电荷q所产生的电场强度为32223/200ˆˆˆ44()qqxxyyzzErrxyz求任意点处(r≠0)电场强度的旋度▽×E。例03333330333ˆˆˆ4ˆˆ4ˆxyzqExyzxyzrrrqzyxxyyrzrzrzyxzxrxryr解：可见,向分量为零;同样,向和向分量也都为零。故xˆyˆzˆ0E这说明点电荷产生的电场是无旋场。因535333ryzryzryzrzy证明下述矢量斯托克斯定理：()VsAdvAds式中S为包围体积V的封闭面。[证]设C为一任意常矢，则)()()()(ACACCAAC从而有dvACdvACVV)()(（1-37）例1.4根据散度定理，上式左边等于SSSdsACCdsAdsAC)()(于是得VSdsACdvAC)(由于上式中常矢C是任意的，故式（