必修4三角函数的图像与性质1.4-1.6(含答案)

第1页，总20页三角函数的图像与性质1.4-1.6一：知识点1.基本性质函数定义域值域最值周期奇偶性对称轴对称中心单调性Y=sinx增区间减区间Y=cosx增区间减区间Y=tanx增区间2：kxAysin图像的变化类型⑴：平移变换（1）：左右平移xysin-------------------------------------------------xysin（2）：上下平移xysin-------------------------------------------------kxysin⑵：伸缩变化（1）：左右伸缩xysin--------------------------------------------------xysin（2）：上下伸缩xysin--------------------------------------------------xAysin3．kxAysin图像的一般变化顺序xysin左右平移)sin(xy左右伸缩xysin上下伸缩xAysin上下平移kxAysin二：例题讲解1．函数()sin(2)3πfxx的最小正周期为（）A．2πB．πC．2πD．4π【答案】.B【解析】试题分析：由三角函数sin()yAx的最小正周期2||T得22T.解决这类问题，须将函数化为sin()AxB形式，在代2||T时，必须注意取的绝对值，因为是求最小正周期.考点：三角函数的周期计算2．函数sin22yx，xR是（）试卷第2页，总20页A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为2的奇函数C.最小正周期为的偶函数D.最小正周期为2的偶函数【答案】C【解析】试题分析：函数sin22yx=cos2x，显然函数是偶函数，函数的周期是T=22．故选C．考点：1.三角函数的周期性；2.函数的奇偶性.3．要得到函数y＝cos(2x＋1)的图像，只要将函数y＝cos2x的图像()A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位C．向左平移12个单位D．向右平移12个单位【答案】C【解析】把函数y＝cos2x的图像向左平移12个单位，得y＝cos212x的图像，即y＝cos(2x＋1)的图像，因此选C.4．将函数sinyx的图像上所有的点向右平行移动π3个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到函数f(x)的图象,则f(－π)等于()A.23B.23C.21D.－21【答案】D【解析】试题分析：因为将函数sinyx的图像上所有的点向右平行移动π3个单位长度，得到的函数解析式为sin()3yx.再把函数sin()3yx各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到1()sin()23fxx.所以151()sin(())sin()2362f.考点：1.三角函数的左右平移.2.三角函数的伸缩变换.5．要得到函数cos23fxx的图象，只需将函数sin23gxx的图象（）A.向左平移2个单位长度B.向右平移2个单位长度C.向左平移4个单位长度D.向右平移4个单位长度【答案】C.【解析】试题分析：因为函数cos23fxx)]125(2sin[]2)32sin[(xx，第3页，总20页所以将函数sin23gxx的图象向左平移4个单位长度，即可得到函数)652sin(]3)4(2sin[xxy的图像.故应选C.考点：函数)sin(xAy的图像变换.6．如图所示是函数()sin()(0,||)fxx的部分图像，则()fx的解析式为.【答案】()sin(2)3fxx【解析】由图像得函数周期4()126T又2T，所以2，即()sin(2)fxx由图像知()112f,所以2()62kkZ，解得2()3kkZ又||，所以3故答案为()sin(2)3fxx【考点】三角函数的性质；三角函数的解析式.7．函数()sin()fxAx(0,0,)2A的部分图象如图所示，为了得到sin2yx的图象，只需将()fx的图象()A．向右平移3个单位B．向右平移6个单位C．向左平移3个单位D．向左平移6个单位【答案】B【解析】试题分析：观察图象可知，1A，T，∴2，()sin(2)fxx.将(,0)6代入上式得sin()03，由已知得3，故()sin(2)3fxx.由()sin2()6fxx知，为了得到sin2yx的图象，只需将()fx的图象向右平移6个单位.故选B．考点：正弦型函数，函数图象像的平移.8．已知函数()sin()fxAxb（0,0A、，b为常数)一段图像如图所示．(1)求函数()fx的解析式；(2)将函数()yfx的图像向左平移12个单位，再将所得图像上各点的横xyO631试卷第4页，总20页坐标扩大为原来的4倍，得到函数()ygx的图像，求函数()gx的单调递增区间.【答案】（1）π()3sin(2)26fxx；（2）5ππ[4π4π]33kk，，kZ【解析】解析：（1）由已知，5(1)32A，5(1)22b，因为5ππ()4π126T，所以2由“五点法”作图，ππ262，解得π6所以函数()fx的解析式为π()3sin(2)26fxx6分（2）将函数()yfx的图像向左平移π12个单位后得到的函数解析式为ππ3sin[2()]2126yx，即π3sin(2)23yx，再将图像上各点的横坐标扩大为原来的4倍，得1π()3sin()223gxx由π1ππ2π2π+2232kxk，得5ππ4π4π33kxk故()gx的单调递增区间为5ππ[4π4π]33kk，，kZ10分.考点：1.三角函数的图像与性质；2.三角函数的图像变换.9．已知函数()sin3cos(0)fxxx的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于2，若将函数()yfx的图象向左平移6个单位得到函数()ygx的图象，则()ygx是减函数的区间为（）A．(,0)3B．(,)44C．(0,)3D．(,)43【答案】D【解析】试题分析：因为()sin3cos2sin()3fxxxx，所以2.T由题意得,22T所以2.因此()2sin(2())2sin2,63gxxx其减区间满足：3222,(),22kxkkZ即3,(),44kxkkZ只有3(,)[,]4344，所以选D.考点：三角函数图像变换10．若将函数y＝2sin（x＋4）的图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移4个单位，则所得图像的一条对称轴的方程为：（）A．x＝－8B．x＝－4C．x＝8D．x＝4【答案】A【解析】试题分析：函数2sin4yx的图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变），得到函数第5页，总20页2sin24yx，所的函数再向右平移4个单位，得到函数2sin22sin2444yxx，8x代入得2y，故8x是所得函数图像的一条对称轴的方程．考点：三角函数图像与性质，三角函数图像变化．11．已知函数()cos(2)2sin()sin()344fxxxx.(1)求函数()fx的最小正周期和图像的对称轴方程；(2)求函数()fx在区间[,]122上的值域.【答案】（1）2ππ2T，ππ()23kxkZ；（2）3[1]2，【解析】试题分析：（1）先利用两角和与差的三角函数将式子展开合并，再利用二倍角公式、辅助角公式化简得到π()sin(2)6fxx，再结合正弦函数的性质，由2T、2,62xkkZ可得函数()fx的最小正周期与对称轴的方程；（2）将26x当成整体，由52122366xx，利用正弦函数的单调性可得3sin(2)126x，即()fx的值域.试题解析：（1）πππ()cos(2)2sin()sin()344fxxxx13cos2sin2(sincos)(sincos)22xxxxxx2213cos2sin2sincos22xxxx13cos2sin2cos222xxxπsin(2)6x所以函数()fx的周期2ππ2T由ππ2π()62xkkZ，得ππ()23kxkZ所以函数()fx图像的对称轴方程为ππ()23kxkZ6分（2）因为ππ[]122x，，所以ππ5π2[]636x，因为π()sin(2)6fxx在区间ππ[]123，上单调递增，在区间ππ[]32，上单调递减试卷第6页，总20页所以当π3x时，()fx取最大值1又因为π3π1()()12222ff，当12x时，()fx取最小值32所以函数()fx在区间ππ[]122，上的值域为3[1]2，10分.考点：1.三角函数的图像与性质；2.三角恒等变换.12．设函数Rx,xsinxf422。（1）求函数xf的最小正周期和单调递增区间；（2）求函数xf在区间438,上的最小值和最大值，并求出取最值时x的值。【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为3[,]()88kkkZ；（2）34x时，最小值－1，38x时，最大值2．【解析】试题分析：（1）函数sinfxAxm的最小正周期是2T，求它的单调区间实质是借助整体法利用sinyx的单调区间，只不过要注意A和的正负；（2）求函数sinfxAxm的最值也是利用整体思想，同样是借助于sinyx的最值．试题解析：（1）22T，3分由222242kxk，2分得388kxk，1分∴递增区间是3[,]()88kkkZ．1分（2）令24tx，则由384x可得504t，2分∴当54t即34x时，min22()12y．2分当2t即38x时，min212y．2分考点：(1)三角函数的最小正周期与单调区间；（2）在给定区间上的最值．13．已知函数f(x)＝3sinωx·cosωx＋cos2ωx－12(ω0)，其最小正周期为2.(1)求f(x)的解析式．第7页，总20页(2)将函数f(x)的图象向右平移8个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，若关于x的方程g(x)＋k＝0，在区间0,2上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．【答案】（1）sin(4)6x（2）－32k≤32或k＝－1.【解析】(1)f(x)＝3sinωx·cosωx＋cos2ωx－12＝32sin2ωx＋1cos(2)2x－12＝sin(2)6x，由题意知f(x)的最小正周期T＝2，T＝22＝2.∴ω＝2，∴f(x)＝sin(4)6x.(2)将f(x)的图象向右平移8个单位后，得到y＝sin(4)3x的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标