线性代数矩阵相似对角化

1第五章相似矩阵§5.2矩阵的相似对角化§5.2矩阵的相似对角化一、相似矩阵的基本概念与性质二、矩阵相似对角化的概念与问题分析三、矩阵相似对角化的方法步骤四、矩阵相似对角化的应用2第五章相似矩阵§5.2矩阵的相似对角化一、相似矩阵的基本概念与性质1.相似矩阵的概念定义对于n阶矩阵A和B，,1BPAP则称A与B相似，称对A所进行的运算为对A进行相似变换。PAP1称可逆矩阵P为把A变成B的相似变换矩阵。记为.~BA若存在可逆的n阶方阵P使得或者称A相似于B，注矩阵相似是矩阵等价的一种特殊情况。P144定义5.23第五章相似矩阵§5.2矩阵的相似对角化一、相似矩阵的基本概念与性质1.相似矩阵的概念2.相似矩阵的性质(1)反身性性质;~AA(2)对称性若则;~AB,~BA(3)传递性若则.~CA,~BA,~CB(4).)()(BrAr若则,~BA(5).||||BA若则,~BAP144定理5.5P1444第五章相似矩阵§5.2矩阵的相似对角化定理若n阶矩阵A与B相似，则A与B有相同的特征多项式,证明因A与B相似，即存在可逆的矩阵P使得,1BAPP||1IPAP即A与B有相同的特征多项式。从而A与B有相同的特征值。故||IB|)(|1PIAP||11PIPPAP||||||1PIAP.||IA一、相似矩阵的基本概念与性质1.相似矩阵的概念2.相似矩阵的性质P144定理5.5(3)5第五章相似矩阵§5.2矩阵的相似对角化二、矩阵相似对角化的概念与问题分析定义对于n阶矩阵A，则称A可相似对角化；若存在可逆的n阶方阵P，使得记为.Λ▲P145定义5.36第五章相似矩阵§5.2矩阵的相似对角化.1PBPk若存在可逆矩阵P使,1BPAPkkPBPPBPPBPA111则1PΛPAkk.121PaaaPknkk,1PBPA则特别地，,21naaaΛB若二、矩阵相似对角化的概念与问题分析好处(之一)7第五章相似矩阵§5.2矩阵的相似对角化例证明矩阵不能相似对角化。aaaA11证(反证法),3211ΛaaaPAP假设存在可逆矩阵P，使得即得,1PΛPA故它们有相同的特征值，由矩阵A与L相似，,321aaaa,IaΛ,)(1IaPIaPA矛盾！故矩阵A不能相似对角化。8第五章相似矩阵§5.2矩阵的相似对角化1.问题分析(1)L如何构成？L的主对角线上的元素由A的全部特征值构成。由于是L的n个特征值，naaa,,,21而A与L相似，因此就是A的n个特征值.naaa,,,21naaaPAP000000211记为.Λ所考虑的问题是寻找可逆的n阶方阵P，使得即二、矩阵相似对角化的概念与问题分析9第五章相似矩阵§5.2矩阵的相似对角化1.问题分析(2)P如何构成？P的列向量由A的线性无关的特征向量构成。设,),,,(21npppP即则由有,PΛAPΛAPP1,),,,(),,,(2121ΛppppppAnn于是有),,,2,1(nipapAiii又因为P可逆，且线性无关，故,0ipnppp,,,21因此是A的n个线性无关的特征向量.nppp,,,21,),,,(),,,(221121nnnpapapapApApA即二、矩阵相似对角化的概念与问题分析10第五章相似矩阵§5.2矩阵的相似对角化A有n个线性无关的特征向量，推论如果n阶矩阵A有n个不同的特征值，则矩阵A可以相似对角化。定理n阶矩阵A能够相似于对角矩阵的充分必要条件是Λ1.问题分析2.矩阵可相似对角化的条件即A每个特征值所对应的线性无关的特征向量的个数必须恰好等于该特征值的重数。二、矩阵相似对角化的概念与问题分析P145定理5.6P146推论2P145推论111第五章相似矩阵§5.2矩阵的相似对角化三、矩阵相似对角化的方法步骤步骤(1)求n阶方阵A的特征值,,,,21r;,,,21rsss其重数分别为(2)对每一个特征值求矩阵A特征向量，,i并找出其中线性无关的特征向量，其最大个数为;it(3)若则A不能相似对角化；,iist(4)若,),,2,1(ristii从而有;1ΛPAP则以这些特征向量作为列向量构成矩阵P，12第五章相似矩阵§5.2矩阵的相似对角化Λ其中1s个2s个rs个三、矩阵相似对角化的方法步骤步骤(4)若,),,2,1(ristii从而有;1ΛPAP则以这些特征向量作为列向量构成矩阵P，13第五章相似矩阵§5.2矩阵的相似对角化三、矩阵相似对角化的方法步骤(2)因是的基础解系中的解向量，ip0)(XIA故的ip因此P也不是唯一的。(3)由于的根只有n个(重根按重数计算)，所以0||IA则是唯一的。如果不计特征值的排列顺序，Λ几点说明(1)P中的列向量(即特征向量)nppp,,,21的排列顺序要与特征值的顺序一致。取法不是唯一的。14第五章相似矩阵§5.2矩阵的相似对角化例试将矩阵相似对角化。aaaA1解令,0||AI(三重根)得A的特征值为,1a由,0)(1XAI得A的特征向量为,01000121kkX,)0(2221kk显然，最多能找到两个线性无关的特征向量，因此矩阵A不能相似对角化。15第五章相似矩阵§5.2矩阵的相似对角化例将矩阵相似对角化，并求.100A解(1)由,0||AI得A的特征值为,12,21对,21对,12取特征向量,)1,1,1(1TX,101011021P令.1121ΛPAP则(重根)(单根)取特征向量,)0,1,2(2TX,)1,0,0(3TX16第五章相似矩阵§5.2矩阵的相似对角化解,1ΛPPA有(2)由,1ΛPAP1100100PΛPA121011021112101011021100100100.122120121202222101100101100101100例将矩阵相似对角化，并求.100A17第五章相似矩阵§5.2矩阵的相似对角化则P可逆，解(1)令,210101111),,(321XXXP且,4311ΛAPP,1012X例设三阶方阵A的三个特征值为且,4,3,1321对应的特征向量分别是,0111X求矩阵A和.1A,2113X18第五章相似矩阵§5.2矩阵的相似对角化11PΛP11PΛP(2)因此有111022131214312101011111PΛPA;822313379211A.6229339925124119第五章相似矩阵§5.2矩阵的相似对角化证(1)由题意可知：n维基本向量是A的特征向量，neee,,,21,211nAPP例设任意非零n维向量都是n阶方阵A的特征向量，证明A为数量阵。令,),,,(21IeeePn即,21nA则存在使得n,,,2120第五章相似矩阵§5.2矩阵的相似对角化例设任意非零n维向量都是n阶方阵A的特征向量，证(2)又n维向量也是A的特征向量，T)1,,1,1(证明A为数量阵。故存在使得,~,~A即111n21111~,~21n因此,~IA即A为数量阵。21第五章相似矩阵§5.2矩阵的相似对角化例四、矩阵相似对角化的应用1.人口流动问题P148例1022第五章相似矩阵§5.2矩阵的相似对角化第一年末城乡人口为解(1)设最初城市和农村人口分别为,,00zy,8.01.0,2.09.0001001zyzzyy,8.01.02.09.00011zyzy即第k年末城乡人口为,8.01.02.09.011kkkkzyzy即,8.01.02.09.000zyzykkk,8.01.02.09.0A记则有,00zyAzykkk23第五章相似矩阵§5.2矩阵的相似对角化(2)由,0||AI求得A的特征值为,7.0,121它们对应的特征向量分别为,1131,123121XX令,111231P则,21111P且,7.00011PAP,7.00011PPA因而有.7.00011PPAkkk24第五章相似矩阵§5.2矩阵的相似对角化(3)第k年末城乡人口为00zyAzykkk0017.0001zyPPkk0021110001111231zyzy故,07.0k当时，k,)(2310000zyzy即当时，城与农村的人口之比为2:1.k25第五章相似矩阵§5.2矩阵的相似对角化由A的特征值为,7.0,121对应的特征向量分别为,1131,123121XX故第k年末城乡人口为00zyAzykkk1Xazy注本题还可以直接利用特征值与特征向量的性质来求解(线性无关)有,2100XbXazy21XAbXAakk2211XbXakk,231aa.1:2:zy,)7.0(21XbXak26第五章相似矩阵§5.2矩阵的相似对角化例求解常系数线性常微分方程组四、矩阵相似对角化的应用1.人口流动问题2.微分方程组求解问题其中，,)(txxii.d)(dttxxii设想:假如微分方程组为,,,333222111xxxxxx则它们是三个独立其解非常容易得到.的齐次型微分方程,27第五章相似矩阵§5.2矩阵的相似对角化解(1)将微分方程组改写为矩阵形式令)()()()(321txtxtxtX简记为,X32133212321146635333xxxxxxxxxxxx则微分方程组可改写为)()()()(321txtxtxtX,466353331XX简写为,XAX简记为,X28第五章相似矩阵§5.2矩阵的相似对角化解(2)将矩阵A相似对角化由,0||AI得A的特征值为,22,41对,41对,22,)0(,101011232232kkkk特征向量为特征向量为,)0(,21111kk,210101111P令.4221ΛPAP则(重根)(单根)29第