圆锥曲线的最值问题常见类型及解法

高考地位:最值问题是高考的热点，而圆锥曲线的最值问题几乎是高考的必考点，不仅会在选择题或填空题中进行考察，在综合题中也往往将其设计为试题考查的核心。类型一:两条线段最值问题利用圆锥曲线的定义求解根据圆锥曲线的定义，把所求的最值转化为平面上两点之间的距离、点线之间的距离等，这是求圆锥曲线最值问题的基本方法。关键：用好圆锥曲线的定义例1、已知点F是双曲线的左焦点，定点A（1，4），P是双曲线右支上动点，则的最小值为.221412xyPFPA思维导图：根据双曲线的定义，建立点A、P与两焦点之间的关系两点之间线段最短FAPyx例1、已知点F是双曲线的左焦点，定点A（1，4），P是双曲线右支上动点，则的最小值为.221412xyPFPA解析：设双曲线右焦点为F/249PFPAPFPFPAPFaPAPFAFFAPyx例2：如图，由椭圆的定义：椭圆上的点到两个定点之间的距离为定值|MF|+|MF’|=10|MF|+|MA|=10-|MF’|+|MA|=10+(|MA|-|MF’|)≤10+|AF’|因此，当|AF’|最大时，|MA|+|MF|是最大值。具体解题过程如下：已知椭圆的右焦点F，且有定点A（1，1），又点M是椭圆上一动点。问|MA|+|MF|是否有最值，若有，求出最值并指出点M的坐标19y25x22分析：则F’的坐标为(－4,0)解：设椭圆的左焦点为F’由椭圆的定义得：|MF|+|MF’|=10|MF|+|MA|=10-|MF’|+|MA|连AF’，延长交椭圆于M’则||MA|-|MF’||≤|AF’|当且仅当M,A,F’三点共线时，等号成立。∴|MA|-|MF’|的最大值为|AF’|，这时M与M’重合∵|AF’|=1]41[2）（26∴|MF|+|MA|的最大值为2610要使|MF|+|MA|最大，即要使|MA|-|MF’|最大，问题：本题解题到此结束了吗？最小值为2610变式训练：已知P点为抛物线上的点，那么P点到点Q（2，-1）的距离与P点到抛物线焦点的距离之和的最小值为___，此时P点坐标为_.24yxQxy类型二：圆锥曲线上点到某条直线的距离的最值切线法当所求的最值是圆锥曲线上点到某条直线的距离的最值时，可以通过作与这条直线平行的圆锥曲线的切线，则两平行线间的距离就是所求的最值，切点就是曲线上去的最值时的点。例1：在圆x2+y2=4上求一点P，使它到直线L：3x-2y-16=0的距离最短。222316略解：圆心到直线L的距离d1=131316所以圆上的点到直线的最短距离为d=d1-r2131316思考：例1是否还有其他解题方法？问题：直线L的方程改为3x-2y-6=0，其结果又如何？21313161313216dmin∴圆上的点到直线的最短距离即为两平行直线间的距离另解：设平行于直线L且与圆相切的直线方程：3x-2y+m=013x2+6mx+m2-16=0∵直线与圆相切∴△=36m2-52(m2-16)=0m=±132∴m2=52，代入圆x2+y2=4整理得：例2、求椭圆上的点到直线的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标.2212xy23yx思维导图：求与平行的椭圆的切线23yx切线与直线的距离为最值，切点就是所求的点.23yxxyo例2、求椭圆上的点到直线的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标.2212xy23yx解：设椭圆与平行的切线方程为23yxyxb22(1)12yxbxy222234220(4)43(22)03xbxbbbbminmax61)3,;2362)3,.2bdbd当时代入(1)得当时代入(1)得变式训练：动点P在抛物线上，则点P到直线的距离最小时，P点的坐标为_________.2yx4yx例3求点到椭圆上点的最大距离，并求出此时椭圆上的点的坐标。)230(P，1y4x22本题可以根据椭圆的方程设出满足条件的点的坐标，然后根据两点间的距离公式借助于二次函数求出此最大值，并求出点的坐标。分析：类型三：圆锥曲线上点到x轴（Y轴）上某定点的距离的最值此时，3x21y，所以的最大值为PQ7即此时Q的坐标为：），）、（，（213213设点Q(x,y)为椭圆上的任意一点，1y4x22则2PQ22)23y(0x）（又因为x2=4-4y2所以2PQ49y3yy4422425y3y327)21y(32（－1≤y≤1）解：例3求点到椭圆上点的最大距离，并求出此时椭圆上的点的坐标。)230(P，1y4x22。最大距离是上的使其到椭圆求：点71y4x),m,0(P22思考题：变式训练：已知双曲线C：，P为C上任一点，点A（3，0），则|PA|的最小值为________.2214xy例1：已知抛物线y2=4x，以抛物线上两点A(4,4)、B(1,-2)的连线为底边的△ABP，其顶点P在抛物线的弧AB上运动，求：△ABP的最大面积及此时点P的坐标。动点在弧AB上运动，可以设出点P的坐标，只要求出点P到线段AB所在直线AB的最大距离即为点P到线段AB的最大距离，也就求出了△ABP的最大面积。要使△ABP的面积最大，只要点P到直线AB的距离d最大。设点P()yy，42解：由已知：|AB|=22)24()14(2x-y-4=0直线AB：*解题过程如下：*分析：类型四d=54y2y2528y2y25291y2）（由已知：－2＜y＜4∴dmax=529此时，y=1,x=41d21AB=2152953427∴点的坐标为(，1)41∴Smax=我们可以连接AB，作平行AB的直线L与抛物线相切，求出直线L的方程，即可求出直线L与AB间的距离，从而求出△ABP面积的最大值和点P的坐标。分析：y2-2y+2m=0设直线L与抛物线y2=4x相切，直线AB：2x-y-4=0直线L的方程为：2x-y+m=0（*）△=4-8m=0,m=21此时，y=1,x=41∴直线L的方程为：2x-y+=021两直线间的距离d=529另解：把（*）代入抛物线的方程得其他过程同上。回顾反思与能力提升：1、此法用了哪种数学思想方法？2、有没有别的办法？3、要注意画出草图，根据图形确定何时取最大值，何时取最小值.类型五:基本不等式法先将所求最值的量用变量表示出来，再利用基本不等式求这个表达式的最值.这种方法是求圆锥曲线中最值问题应用最为广泛的一种方法.例4、设椭圆中心在坐标原点A（2，0）、B（0，1）是它的两个顶点，直线与椭圆交于E、F两点，求四边形AEBF面积的最大值.(0)ykxkAFEBxy思维导图：用k表示四边形的面积根据基本不等式求最值例4、设椭圆中心在坐标原点A（2，0）、B（0，1）是它的两个顶点，直线与椭圆交于E、F两点，求四边形AEBF面积的最大值.(0)ykxk解析：依题意设得椭圆标准方程为直线AB、EF的方程分别为设2214xy20,(0)xyykxk112212(,)(,)()ExkxFxkxxx221222122,41414xyxxkkykx根据点到直线距离公式及上式，点E、F到AB的距离分别为2111222222222(1214)55(14)222(1214)55(14)xkxkkhkxkxkkhk5AB又∴四边形AFBE的面积为121()2SABhh2222222214(12)2(12)525(14)(14)(12)1442214144212214kkSkkkkkkkkkmax121.222kkS当且仅当即时成立变式训练：已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，求四边形ABCD面积的最小值.22132xy方法四:函数法把所求最值的目标表示为关于某个变量的函数，通过研究这个函数求最值，是求各类最值最为普遍的方法.关键：建立函数关系式例5、点A、B分别是椭圆的长轴的左右端点，F为右焦点，P在椭圆上，位于x轴的上方，且PA⊥PF若M为椭圆长轴AB上一点，M到直线AP的距离等于|MB|.求椭圆上点到点M的距离的最小值.xyABFMP思维导图：把所求距离表示为椭圆上点的横坐标的函数求这个函数的最小值2213620xy解析：由已知可得点A(-6，0)、F(4,0),设点P(x,y)，则222(6,),(4,),(6)(4)0(1)1(2)3620APxyFPxyAFFPxxyxy由(1)、(2)及y0得32532xy∴AP的方程为360xy设M(m，0)，则点M到直线AP的距离6,62mdMBm6622mmm设椭圆上点（x0,y0）到M距离为d则2200220002000max(2)54420949()1566929152dxyxxxxxxd当时，作业:小结:圆锥曲线的最值问题解决方法较多，常见的有五种.有些题目可以用多种方法解决，遇到此类题目时，要选取适当地方法。