弹性力学基本方程(1)

弹性力学基本方程1.1弹性力学假设(1)物体内的物质连续性(continuity)假定，即认为物质中无空隙，因此可采用连续函数来描述对象。(2)物体内的物质均匀性(homogeneity)假定，即认为物体内各个位置的物质具有相同特性，因此，各个位置材料的描述是相同的。(3)物体内的物质(力学)特性各向同性(isotropy)假定，即认为物体内同一位置的物质在各个方向上具有相同特性，因此，同一位置材料在各个方向上的描述是相同的。(4)线弹性(1inearelasticity)假定，即物体变形与外力作用的关系是线性的，外力去除后，物体可恢复原状，因此，描述材料性质的方程是线性方程。(5)小变形(smalldeformation)假定，即物体变形远小于物体的几何尺寸，因此在建立方程时，可以忽略高阶小量(二阶以上)。1.1弹性力学假设以上基本假定和真实情况虽然有一定的差别，但从宏观尺度上来看，特别是对于工程问题，大多数情况下还是比较接近实际的。以上几个假定的最大作用就是可以对复杂的对象进行简化处理，以抓住问题的实质。1.1弹性力学假设弹性体在载荷作用下，体内任意一点的应力状态可由6个应力分量σxσyσzτxyτyzτzx来表示。应力分量的正负号规定如下：如果某一个面的外法线方向与坐标轴的正方向一致，这个面上的应力分量就以沿坐标轴正方向为正，与坐标轴反向为负；1.2弹性力学基础1.2弹性力学基础应力分量的矩阵表示称为应力列阵或应力向量。弹性体在载荷作用下，还将产生位移和变形，即弹性体位置的移动和形状的改变。1.2弹性力学基础弹性体内任一点的位移可由沿直角坐标轴方向的3个位移分量w,v,u来表示。它的矩阵形式是1.2弹性力学基础弹性体内任意一点的应变，可以由6个应变分量来表示γxyγyzγzx为剪应变εxεyεz为正应变。应变的正负号与应力的正负号相对应，即应变以伸长时为正，缩短为负；剪应变是以两个沿坐标轴正方向的线段组成的直角变小为正，反之为负。1.2弹性力学基础1.2弹性力学基础对于三维问题，弹性力学基本方程为如下形式。1.平衡方程由x，y，z三方向的力平衡可推出微分形式的平衡方程。在推导平衡方程时不同位置截面上的应力将由于几何位置的差别dx，dy，dz而有所不同，以Taylor级数展开后，可写为1.3弹性力学平衡方程1.3弹性力学平衡方程1.3弹性力学平衡方程1.4弹性力学平衡方程设一个变形体微小体元的平面直角在变形前为APB，而变形后为A’P’B’，P点变形到P’点的x方向位移为u，y方向位移为v。1.4弹性力学几何方程从图0.1.3可以看出，平面物体在受力后，其几何形状的改变主要在两个方面：沿各个方向上的长度变化以及夹角的变化，下面给出具体的描述。1.4弹性力学几何方程(3)定义夹角的变化P'A’线与PA线的夹角为1.4弹性力学几何方程在微小位移和微小变形的情况下，略去位移导数的高次幂，则应变向量和位移向量间的几何关系有1.4弹性力学几何方程1.4弹性力学几何方程3.物理方程——应力-应变关系1.3弹性力学本构方程1.3弹性力学本构方程1.3弹性力学本构方程弹性体V的全部边界为S。一部分边界上已知外力,pxpypz称为力的边界条件，这部分边界用Sσ表示；另一部分边界上弹性体的位移w,v,u已知，称为几何边界条件或位移边界条件，这部分边界用uS表示。这两部分边界构成弹性体的全部边界，即4．力的边界条件弹性体在边界上单位面积的内力为Tx,Ty,Tz，在边界Sσ上已知弹性体单位面积上作用的面积力为,pxpypz，根据平衡应有