浅谈数形结合思想在高中数学中的几点应用

１浅谈数形结合思想在高中数学中的几点应用广东省普宁市城东中学（515300）邱海泉在解决数学问题时，将抽象的数学语言同直观的图形相结合，实现抽象的概念与具体形象的联系和转化，这就是数形结合的思想．在高中数学中，数形结合是一条重要的数学原则，主要体现在平面解析几何和立体几何中，在处理边角关系的问题中也有较多的应用．在解决集合问题、方程及不等式问题中，如果能注意数形结合的思想的应用，能使许多数学问题简单化．下面举一些例子作详细说明：一、数形结合思想在解决集合问题中的应用．1、利用韦恩图法解决集合之间的关系问题．一般用圆来表示集合，两圆相交则表示两集合有公共元素，两圆相离则表示两个集合没有公共元素．利用韦恩图法能直观地解答有关集合之间的关系的问题．如：例1、有48名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数理化小组的人数分别为28，25，15，同时参加数理小组的8人，同时参加数化小组的6人，同时参加理化小组的7人，问同时参加数理化小组的有多少人？分析：我们可用圆A、B、C分别表示参加数理化小组的人数（如右图），则三圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数．用n表示集合的元素，则有：48)()()()()()()(CBAnCBnCAnBAnCnBnAn即：48)(768152528CBAn∴1)(CBAn，即同时参加数理化小组的有1人．例2、设的自然数小于10I，已知.8,6,4,9,1,2BABABA求.,BA分析：如图，用长方形表示全集I，用圆分别表示集合A和B，用n表示集合C（化）A（数）B（理）IA∩B3,5,72AB1,94,6,8２的元素，则有：IBAnBAnBnAn)()()()(从韦恩图我们可以直观地看出：8,6,4,2,7,5,3,2BA．2、利用数轴解决集合的有关运算和集合的关系问题．例3、设.,034|,016|22RIxxxBxxA求.,,,BABABABA分析:分别先确定集合A，B的元素，13|,44|xxxBxxA或，然后把它们分别在数轴上表示出来，从数轴上的重合和覆盖情况可直接写出答案：4314|xxxBA或(公共部分)IBA(整个数轴都被覆盖)4314|xxxxBA或或(除去重合部分剩下的区域)BA(除去覆盖部分剩下的区域)例4、已知集合)0(,3|,31|aaxaxBxxA⑴若BA，求a的范围.⑵若AB，求a的范围．分析：先在数轴上表示出集合A的范围，要使BA，由包含于的关系可知集合B应该覆盖集合A，从而有:331aa,这时a的值不可能存在．要使AB，这时集合应该覆盖集合B,应有331aa成立．可解得11a为所求a的范围．二、利用数形结合思想解决方程和不等式问题．1、利用二次函数的图像求一元二次不等式的解集．例5、解不等式062xx．分析：我们可先联想对应的二次函数62xxy的图像草图．从062xx解得。·－4－２０１２４３。·。a３a。－１3①。。－１３a3a②30－2xyy=x2-x-6３3,221xx知该抛物线与x轴交点横坐标为-2，3，当x取交点两侧的值时,即32xx或时，0y．即062xx．故可得不等式062xx.的解集为：32|xxx或.同理,根据图像，我们还可以直观地看出：062xx的解集为32|xx等等．例6、求不等式0322xx的解集．分析:我们先联想对应的二次函数322xxy的图像草图，抛物线开口向下，与x轴没有交点，很明显，无论x取任何值时都有0y．即0322xx,∴0322xx的解集为空集．而0322xx的解集为全体实数．因此，我们要求一元二次不等式的解集时，只要联想对应的二次函数的图像，确定抛物线的开口方向和与x轴的交点情况，便可直观地看出所求不等式地解集．2、利用二次函数的图像解决一元二次方程根的分布情况问题．例7、a为何值时，方程0122222aaxxa的两根在1,1之内？分析：显然02a,我们可从已知方程联想到相应的二次函数y222122aaxxa的草图，从图像上我们可以看出，要使抛物线与x轴的两个交点在1,1之间,必须满足条件:0)1(0)21(0)1(faff即0)1(0210)1(222aaa从而可解得a的取值范围为2222aa或．例8、如果方程022kaxx的两个实根在方程0422aaxx的两实根之间，试求a与k应满足的关系式．分析：我们可联想对应的二次函数0xyy=-x2+2x-30a21xy1－11x2x0xy1y2y４kaxxy221,4222aaxxy的草图．这两个函数图像都是开口向上，形状相同且有公共对称轴的抛物线(如图)．要使方程022kaxx的两实根在方程0422aaxx的两实根之间，则对应的函数图像1y与x轴的交点应在函数图像2y与x轴的交点之内，它等价于抛物线1y的顶点纵坐标不大于零且大于抛物线2y的顶点纵坐标．由配方方法可知1y与2y的顶点分别为：04.4,,,222221kaaaaaaPkaaP故．故可求出a与k应满足的关系式为:24aka．3、利用函数图像解决方程的近似解或解的个数问题．例9、解方程xx23分析:由方程两边的表达式我们可以联想起函数xyyx23与,作出这两个函数的图像,这两个函数图像交点的横坐标为方程的近似解，可以看出方程的近似解为4.0x．例10、设方程112kx，试讨论k取不同范围的值时其不同解的个数的情况．分析：我们可把这个问题转化为确定函数121xy与12ky图像交点个数的情况，因函数12ky表示平行于x轴的所有直线，从图像可以直观看出:①当1k时，1y与2y没有交点，这时原方程无解;②当1k时，1y与2y有两个交点,原方程有两个不同的解;③当01k时，1y与2y有四个不同交点，原方程不同解的个数有四个；④当0k时，1y与2y有三个交点，原方程不同解的个数有三个；⑤当0k时1y与2y有两个交点，原方程不同解的个数有三个．4、利用三角函数的图像解不等式．例11、解不等式1cos)13(cossin)13(sin222xxxx．200.4xyy=3x21y=2-x－1y－10x11５分析:原不等式进行适当的变形后可得到：0cos3cossin)13(sin22xxxx又∵0cos2x,∴不等式两边同时除以x2cos可得：03tan)13(tan2xx．∴3tan1x下面关键分析如何求3tan1x的解集．我们可以联想正切函数xytan的图像,在区间2,2内作出xytan的函数图像，再作出两平行于x轴的直线1y和3y与xytan的图像相交于点21,PP．21,PP两点对应的横坐标分别为3,421xx．又因为正切函数xytan的周期为,故可求得所求不等式的解集为:Zkkxkx,34|.例12、解不等式2,0,sincosxxx分析:从不等式的两边表达式我们可以看成两个函数xyxysin,cos21.在2,0上作出它们的图像,得到四个不同的交点,横坐标分别为:47,45,43,4,而当x在区间2,47,45,43,4,0内时,xycos1的图像都在xysin2的图像上方．所以可得到原不等式的解集为：247454340|xxxx或或．三、利用函数图像比较函数值的大小．一些数值大小的比较，我们可转化为对应函数的函数值，利用它们图像的直观性进行比较．如：x－1y=13y0y311P2P423220xy1xycos1xysin2223６例13、试判断3.0222,3.0log,3.0三个数间的大小顺序．分析：这三个数我们可以看成三个函数xyxyxy2,log,32221在3.0x时，所对应的函数值．在同一坐标系内作出这三个函数的图像(如图)，从图像可以直观地看出当3.0x时，所对应的三个点321,,PPP的位置，从而可得出结论：3.0log3.02223.0．四、利用单位圆中的有线段解决三角不等式问题．在教材中利用单位圆的有向线段表示角的正弦线，余弦线，正切线，并利用三角函数线可作出对应三角函数的图像．如果能利用单位圆中的有向线段表示三角函数线，应用它解决三角不等式问题,简便易行．例14、解不等式21sinx．分析：因为正弦线在单位圆中是用方向平行于y轴的有向线段来表示．我们先在y轴上取一点P，使21OP，恰好表示角x的正弦线21sinx,过点P作x轴的平行线交单位圆于点21,PP,在23,2内，21,OPOP分别对应于角6,67，(这时所对应的正弦值恰好为21)．而要求21sinx的解集，只需将弦21PP向上平移，使21,OPOP重合(也即点P向上平移至与单位圆交点处)．这样21,OPOP所扫过的范围即为所求的角．原不等式的解集为：Zkkxkx,67262|．例15、解不等式21cosx0xy1PP212P21xy0yxy231P11xy22log－10.3•••3P2Px７分析：根据余弦线在单位圆中是方向平行于x轴的有向线段．先在x轴上取点P，使21OP，恰好表示角x的余弦线21cosx，过点P作y轴的平行线交单位圆于点21,PP，在23,2内，21,OPOP分别对应于角3,3，(这时所对应的余弦值恰好为21)．而要求21cosx的解集，只需将弦21PP向右平移，使21,OPOP重合(也即点P向右平移至与单位圆交点处)．这样21,OPOP所扫过的范围即为所求的角．原不等式的解集为：Zkkxkx,3232|．0x1PP212Py