函数奇偶性、对称性与周期性有关结论

函数奇偶性、对称性与周期性奇偶性、对称性和周期性是函数的重要性质，下面总结关于它们的一些重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。一、几个重要的结论（一）函数)(xfy图象本身的对称性（自身对称）2、)2()(xafxf)(xfy的图象关于直线ax对称。3、)2()(xafxf)(xfy的图象关于直线ax对称。4、)()(xbfxaf)(xfy的图象关于直线22)()(baxbxax对称。5、bxafxaf2)()()(xfy的图象关于点),(ba对称。6、bxafxf2)2()()(xfy的图象关于点),(ba对称。7、bxafxf2)2()()(xfy的图象关于点),(ba对称。8、cxbfxaf2)()()(xfy的图象关于点),2(cba对称。（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、函数)(xafy与)(xafy图象关于直线0x对称。2、函数)(xfy与)2(xafy图象关于直线ax对称3、函数)(xfy与)2(xafy图象关于直线ax对称4、函数)(xafy与)(xbfy图象关于直线0)()(xbxa对称即直线2abx对称5、函数)(xfy与)(xfy图象关于X轴对称。6、函数)(xfy与)(xfy图象关于Y轴对称。7、函数)(xfy与)(xfy图象关于原点对称（三）函数的周期性1、)()(xfTxf)(xfy的周期为T2、)()(bxbfaxf)(ba)(xfy的周期为abT3、)()(xfaxf)(xfy的周期为aT24、)(1)(xfaxf)(xfy的周期为aT25、)(1)(xfaxf)(xfy的周期为aT26、)(1)(1)(xfxfaxf)(xfy的周期为aT37、1)(1)(xfaxf)(xfy的周期为aT38、)(1)(1)(xfxfaxf)(xfy的周期为aT49、)()()2(xfaxfaxf)(xfy的周期为aT610、)(xfy有两条对称轴ax和bx（)ba)(xfy周期)(2abT11、)(xfy有两个对称中心)0,(a和)0,(b)(xfy周期)(2abT12、)(xfy有一条对称轴ax和一个对称中心)0,(b)(xfy周期)(4abT13、奇函数)(xfy满足)()(xafxaf)(xfy周期aT4。14、偶函数)(xfy满足)()(xafxaf)(xfy周期aT2。二、例题讲授例题1（1）已知)(xfy是定义在实数集R上奇函数，0x时，12)(xxf，求)(xfy的解析式。（2）已知)(xfy满足)1()1(xfxf，1x时，12)(xxf，求)(xfy的解析式。（3）已知奇函数)(xfy满足)1()1(xfxf，02x时，12)(xxf，求)18(log2f（4）已知)(xfy满足0)1()1(xfxf，1x时，12)(xxf，求)(xfy的解析式。例题2（1）已知2sin)(xbaxxf，1)2(f求)2(f（2）已知偶函数)(xfy定义域为R，且恒满足)2()2(xfxf，若方程0)(xf在4,0上只有三个实根，且一个根是4，求方程在区间10,8中的根．（3）已知122)(xxxf，求)6()5()4()5(ffff的值例题3（１）设函数)(xfy的定义域为R，若)(xfy的图象关于1x对称，则函数满足A、)1()(xfxfB、0)2()(xfxfC、)1()1(xfxfD、)1()1(xfxf（２）函数)1(xfy与函数)1(xfy的图象关于关于__________对称（３）函数)1(xfy和函数)1(xfy的图象关于关于__________对称（４）设函数)(xfy的定义域为R，且满足)1()1(xfxf，则)1(xfy的图象关于__________对称。)2(xfy的图象关于__________对称。（５）设函数)(xfy的定义域为R，则下列命题中，①若)(xfy是偶函数，则)2(xfy图象关于y轴对称；②若)2(xfy是偶函数，则)(xfy图象关于直线2x对称；③若)2()2(xfxf，则函数)(xfy图象关于直线2x对称；④)2(xfy与)2(xfy图象关于直线2x对称，其中正确命题序号为_______。例题５2、设f(x)是定义在R上的偶函数，其图像关于直线x=1对称，对任意x1,x2∈[0,21]，都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)，且f(1)=a0。（1）求f(21)及f(41)（2）证明f(x)是周期函数（3）记an=f(2n+n21),求证：an=an21三、自我检测1、如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么A.f(2)＜f(1)＜f(4)B.f(1)＜f(2)＜f(4)C.f(2)＜f(4)＜f(1)D.f(4)＜f(2)＜f(1)3、如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是A.增函数且最小值为－5B.增函数且最大值为－5C.减函数且最小值为－5D.减函数且最大值为－54、F(x)＝[1＋122x]f(x)，(x≠0)是偶函数，且f(x)不恒等于0，则f(x)A.是奇函数B.是偶函数C.可能是奇函数也可能是偶函数D.不是奇函数也不是偶函数5、设f(x)是(－∞，∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1，f(x)＝x，则f(7.5)＝()A.0.5B.－0.5C.1.5D.－1.56、设f(x)是定义在（－∞，+∞）上的函数，对一切x∈R均有f(x)+f(x+3)=0，且当－1x≤1时，f(x)=2x－3，求当2x≤4时，f(x)的解析式。7、定义在上的偶函数满足且当时,.求的单调区间提示：)4()2()(42xfxfxf，f(21)=f(n·n21)=f[n21+(n－1)·n21]=f(n21)·f[(n－1)·