常系数齐次线性微分方程组

常系数线性方程组§7.3常系数线性方程组常系数线性方程组(),1dxAxftdt（）,()Annftatb这里系数矩阵为常数矩阵在上连续的向量函数;一阶常系数线性微分方程组:()0,ft若则对应齐线性微分方程组为(2)dxAxdt本节先讨论(2)的基解矩阵的求法.常系数线性方程组易知（2）有形如(),0,(3)tterr,.r的解其中常数和向量是待定的将(3)代入(2)得,tterAer0,te因上式变为()0,(4)EAr1基解矩阵与A的特征值和特征向量的关系常系数线性方程组方程(4)有非零解的充要条件是:det()0,EA结论(2)()tter微分方程组有非零解的充要条件是,.Ar是矩阵的特征根是与对应的特征向量,(2)dxAxdt()0,(4)EAr常系数线性方程组2基解矩阵的计算方法定理3.11212,,,;,,,(),nnrrr如果矩阵A具有n个线性无关的特征向量它们相应的特征值为不必互不相同那么矩阵1212()[,,,],ntttntererert是常系数线性微分方程组的一个基解矩阵.(2)dxAxdt2A从而方程组（）的基本解组归结为求的n个线性无关的特征向量。常系数线性方程组证明:由上面讨论知,每一个向量函数,1,2,,jtjerjn都是（2)的解,因此矩阵是(2)的解矩阵,12,,,,nrrr由于线性无关所以12det(0)det[,,,]nrrr0()(2).t故是的基解矩阵1212()[,,,]ntttntererer常系数线性方程组(1)矩阵A具有n个互不相同的特征值时由线代知识知道A一定有对应的n个线性无关的特征向量。常系数线性方程组例1求方程组5281815331610dxxdt的通解.解A系数矩阵的特征方程为2det()3(1)0EA因此特征根为1230,1,1;它们相的特征向量为1232231,1,0;121rrr常系数线性方程组故基解矩阵为223()1012ttttteeteee故通解为123223()()1012ttttteecxttCeceec1211c2212tce330;1tce常系数线性方程组(2)iii矩阵A有n重特征值时，若对应的线性无关的特，则也可找到A的n个线性无征向关量有n个特征值。1333536624xdx求齐次线性微分方程组t例的通解。d21333532(4)06642(4AE解：先求特征值所以＝－二重），＝常系数线性方程组212331232223331112233300066600010011111041012110ttAErrrrrrrrece1对于＝－，所以，分别取＝及，得－＝，＝，对于＝，可以求得＝所以通解为x(t)=c43110112tce－常系数线性方程组3.2(3)iiiAnni为的重特征值，对应的线性无关特征向量少于n个，则用定理可找到个线性无关的解。11212012101021()()1!3.22!!)0)))iiniiinniiiiintnniiiiAnntttxterrrrrAErrAErrAErrAEr设为的重特征值，则方程组（2）有个形如的线性无关的解，其中为（的非零解＝（，＝（，＝（定理，常系数线性方程组3例常系数线性方程组（4）若实系数线性齐次方程组（2）有复值解()()()xtutivt则其实部和虚部()ut都是（2）的解.()vt证明因为()()()xtutivt是方程组（2）的解，所以有()()()()()()dxtdutdvtiAtutivtdtdtdt()()()()AtutiAtvt由于两个复数表达式相等等价于实部和虚部相等，常系数线性方程组所以有()()()(),()()dutdvtAtutAtvtdtdt即和()ut是方程组（2）的解.()vt实矩阵A有复特征根一定共轭成对出现，即如果aib是特征根，则共轭复数aib也是特征根，对应的特征向量也与对应的特征向量共轭，因此方程组（2）出现一对共轭的复值解.常系数线性方程组例求解方程组1521dxxdt解系数矩阵A的特征方程为2159021故有特征根123,3ii且是共轭的.13i对应的特征向量12(,)Trrr满足方程常系数线性方程组12(13)50irr取15r则得213,ri(5,13)Tri是1对应的特征向量，因此原微分方程组有解33355()13(13)itititexteiie5cos35sin3cos33sin3(sin33cos3)titttitt5cos35sin3cos33sin3sin33cos3ttitttt常系数线性方程组故5cos35sin3(),()cos33sin3sin33cos3ttutvttttt且和()ut是原方程的两个线性无关解，故()vt原方程组的通解为125cos35sin3()cos33sin3sin33cos3ttxtcctttt常系数线性方程组•例3.5常系数线性方程组考虑常系数非齐次线性微分方程组(1)(2)常系数非齐次线性微分方程组其对应的齐次线性微分方程组为(),dxAxFtdtdxAxdt维列向量这里A是nn实常数矩阵,()Ftn是函数.根据解的结构定理知,方程(1)的通解为(2)的通解与方程(1)的一个特解之和.前面我们研究了方程(2)通解的求法,这一节我们只研究(1)的特解即可.常系数线性方程组方程组（2）的基解矩阵为(),Xt因此常系数非齐次方程组（1）的通解为0())())()ttxtXtCXtsFsds（(3.8)这里C为任意常数列向量.方程组（1）满足初始条件00()xtx的解为00()())xtXttx(3.9)0())()ttXtsFsds这里的基解矩阵满足：X(0)=E常系数线性方程组例求解初值问题1000212032co,1s2tdxxdtet0(0)1.1x解:首先,我们求基解矩阵常系数线性方程组2det()(1)(25)0.AE因此矩阵A有特征根1231,12,12.ii对11,有特征向量1(2,3,2),Tr进而得到对应的齐次方程组的一个解12()3.2txteA的特征方程为常系数线性方程组对212,i有特征向量2(0,1,).Tri因此(12)000()1(cos2sin2)1011ittxteetitii00cos2sin2.sin2cos2ttetiettt常系数线性方程组所以对应的齐次方程有解2300()cos2,()sin2.sin2cos2ttxtetxtettt这样可以得到齐次方程组的基解矩阵200()3cos2sin2.2sin2cos2ttttttteXteeteteetet常系数线性方程组因此且110023(0)102101X1()()(0)XtXtX常系数线性方程组10033cos2sin2cos2sin2.2231sin2cos2sin2cos22tetttttttt由公式(3.9)得,原方程的解为000()()1()()01cos2tsxtXtXtXsdses常系数线性方程组0200cos2sin2()cos2sin2cos2sin2cos2ttettXtssdstts001cos4cos2sin2()8cos2sin2sin428ttettXttttt常系数线性方程组00sin2cos2cos4cos2sin4sin2cos2sin228cos2sin2cos2sin4cos2sin2cos4sin228tttttttttettettttttttt01cos2(1)sin2.215(1)cos2sin224tetttttt