2013年中考数学二轮复习专题突破(5)开放探究题

•开放探究性问题是相对于有明确条件和结论的封闭式问题而言的，它的特点是条件或结论的不确定性、不唯一性．解此类题没有固定的方法，学生需要通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的条件或结论或方法，此类题往往作为中考试卷中的压轴题出现．•专题突破五┃开放探究题•开放探究题常见的类型有：(1)条件开放型：结论明确但问题的条件不完备或满足结论的条件不唯一；(2)结论开放型：在给定的条件下，无明确结论或结论不唯一；(3)存在型问题：即条件或结论都不固定，仅提供一种问题情境，需要补充条件，设计结论；(4)综合开放型：条件、结论、策略中至少有两项均是开放的．•在解开放探究题时，常通过确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题.专题突破五┃开放探究题•例1已知命题：如图X5－1，点A，D，B，E在同一条直线上，且AD＝BE，∠A＝∠FDE，则△ABC≌△DEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明．►类型之一条件开放型问题专题突破五┃开放探究题•解：原命题是假命题，添加一个适当条件使它成为真命题，以下任一方法均可：•①添加条件：AC＝DF.•证明：∵AD＝BE，∴AD＋BD＝BE＋BD，即AB＝DE.•在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠A＝∠FDE，AC＝DF，•∴△ABC≌△DEF(SAS)．•②添加条件：∠CBA＝∠E.•证明：∵AD＝BE，∴AD＋BD＝BE＋BD，即AB＝DE.•在△ABC和△DEF中，∠A＝∠FDE，AB＝DE，∠CBA＝∠E，•∴△ABC≌△DEF(ASA)．专题突破五┃开放探究题•③添加条件：∠C＝∠F.•证明：∵AD＝BE，∴AD＋BD＝BE＋BD，即AB＝DE.•在△ABC和△DEF中，∠A＝∠FDE，∠C＝∠F，AB＝DE，•∴△ABC≌△DEF(AAS)．专题突破五┃开放探究题•[解析]在△ABC和△DEF中，由AD＝BE易知AB＝DE.•又∠A＝∠FDE，根据全等三角形的判定方法，可增加一个边或角的条件使△ABC≌△DEF，但要注意用边角边公理时其角必须是相等的两组对应边的夹角．专题突破五┃开放探究题•解条件开放型问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻，是一种分析型思维方式．它要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因．专题突破五┃开放探究题•例2[2011·南通]比较正五边形与正六边形，可以发现它们的相同点和不同点．例如：它们的一个相同点：正五边形的各边相等，正六边形的各边也相等．它们的一个不同点：正五边形不是中心对称图形，正六边形是中心对称图形．•请你再写出它们的两个相同点和不同点．►类型之二结论开放型问题专题突破五┃开放探究题•解：相同点有：①都有相等的内角；②都是轴对称图形；③对称轴都交于一点；④都有外接圆和内切圆等；•不同点有：①边数不同；②内角的度数不同；③内角和不同；④对角线条数不同；⑤对称轴条数不同等．[解析]此题要了解正多边形的有关性质：正多边形的各边相等，正多边形的各个角相等，所有的正多边形都是轴对称图形，偶数边的正多边形又是中心对称图形．根据正多边形的性质分析它们的相同和不同之处．专题突破五┃开放探究题•例3[2012·南京]“？”的思考•下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批注：•题目：某村计划建造如图X5－3所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1，在温室内，沿前面内墙保留3m宽的空地，其他三面内墙各保留1m宽的通道．当温室的长与宽各是多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2？专题突破五┃开放探究题•解：设矩形蔬菜种植区域的宽为x_m，则长为2x_m．？•根据题意，得x·2x＝288.•解这个方程，得x1＝－12(不合题意，舍去)，x2＝12.•所以温室的长为2×12＋3＋1＝28(m),•宽为12＋1＋1＝14(m)．•答：当温室的长为28m，宽为14m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2.•我的结果也正确！•小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中划了一条横线，并打了一个“？”．专题突破五┃开放探究题•结果为何正确呢？•(1)请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程；•变化一下会怎样……•(2)如图X5－4，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，•且AD∶AB＝2∶1.设AB与A′B′，•BC与B′C′，CD与C′D′，•DA与D′A′之间的距离分•别为a，b，c，d.要使矩形•A′B′C′D′∽矩形ABCD，•a，b，c，d应满足什么条件？请说明理由．图X5－4专题突破五┃开放探究题解：(1)小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1的理由．在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm．”前补充以下过程：设温室的宽为ym，则长为2ym.所以矩形蔬菜种植区域的宽为(y－1－1)m，长为(2y－3－1)m.因为2y－3－1y－1－1＝2y－4y－2＝2，所以矩形蔬菜种植区域的长与宽之比2为∶1.(2)要使矩形A′B′C′D∽矩形ABCD，就要A′D′A′B′＝ADAB，即AD－（a＋c）AB－（b＋d）＝21，即2AB－（a＋c）AB－（b＋d）＝21，即a＋cb＋d＝2.专题突破五┃开放探究题•解结论开放型问题时要充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、归纳、类比，透彻分析出给定条件下可能存在的结论现象，然后经过论证作出取舍，这是一种归纳类比型思维．它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维能力和知识应用能力．专题突破五┃开放探究题•例4已知抛物线y＝－(x－m)2＋1与x轴的交点为A、B(B在A的右边)，与y轴的交点为C.•(1)写出m＝1时与抛物线有关的三个正确结论；•(2)当点B在原点的右边，点C在原点的下方时，是否存在△BOC为等腰三角形的情形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；•(3)请你提出一个对任意的m值都能成立的正确命题．►类型之三综合开放型问题专题突破五┃开放探究题•解：(1)当m＝1时，抛物线的解析式为y＝－x2＋2x.正确的结论有：①抛物线的解析式为y＝－x2＋2x；②开口向下；③顶点为(1，1)；④抛物线经过原点；⑤与x轴的另一个交点是(2，0)；⑥对称轴为x＝1等；•(2)存在．当y＝0时，－(x－m)2＋1＝0，即有(x－m)2＝1.∴x1＝m－1，x2＝m＋1.∵点B在点A的右边，∴A(m－1，0)，B(m＋1，0)．∵点B在原点右边，∴OB＝m＋1.∵当x＝0时，y＝1－m2，点C在原点下方，∴OC＝m2－1.当m2－1＝m＋1时，m2－m－2＝0，∴m＝2或m＝－1(因为对称轴在y轴的右侧，m＞0，所以不合要求，舍去)．∴存在△BOC为等腰三角形的情形，此时m＝2.专题突破五┃开放探究题•(3)如①对任意的m，抛物线y＝－(x－m)2＋1的顶点都在直线y＝1上；②对任意的m，抛物线y＝－(x－m)2＋1与x轴的两个交点间的距离是一个定值(或对任意的m，抛物线y＝－(x－m)2＋1与x轴两个交点的横坐标之差的绝对值为2)．专题突破五┃开放探究题•(1)解决综合开放性问题时，需要类比、试验、创新和综合运用所学知识，建立合理的数学模型，从而使问题得以解决．综合开放型问题的解题方法一般不唯一或解题路径不明确，要求解题者不墨守成规，敢于创新，积极发散思维，优化解题方案和过程．•(2)存在型问题是指条件、结论、解题方法都不固定，而仅提供一种问题情境，需要我们补充条件，设计结论，并寻求解法的一类问题，它更具有开发性，能为我们提供宽松的思维环境.专题突破五┃开放探究题