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2.4抛物线2.4.2抛物线的简单几何性质(第1课时)高二数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程1.抛物线的定义FMlN··知识回顾:平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线.方程y2=2px(p>0)叫做抛物线的标准方程.其中p为正常数,它的几何意义是:焦点到准线的距离(焦准距).2.抛物线的标准方程KFMN··oyx图形标准方程焦点坐标准线方程xyoxyoxyoxyoFllFFllFy2=2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)抛物线的标准方程2px(,0)2p(,0)2p2px(0,)2p2py(0,)2p2pyy2=-2px(p0)yox)0,2(pF由抛物线y2=2px(p0)220pxy有0p0x所以抛物线的范围为0x如何研究抛物线y2=2px(p0)的几何性质?抛物线在y轴的右侧,当x的值增大时,︱y︱也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。即y∈R探索新知:1、范围:yox)0,2(pF(,)xy关于x轴对称(,)xy即点(x,-y)也在抛物线上,故抛物线y2=2px(p0)关于x轴对称.则(-y)2=2px若点(x,y)在抛物线上,即满足y2=2px,2、对称性:yox)0,2(pF定义:抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点。y2=2px(p0)中,令y=0,则x=0.即:抛物线y2=2px(p0)的顶点(0,0).注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。3、顶点:yox)0,2(pFP(x,y)定义:抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比,叫做抛物线的离心率。由定义知,抛物线y2=2px(p0)的离心率为e=1.4、离心率:xyOFABy2=2px2p定义:过焦点而垂直于对称轴的弦AB,称为抛物线的通径.利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图.pp,2pp,2|AB|=2p5、通径:2P越大,抛物线开口越大定义:连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。|PF|=x0+p/2焦半径公式:xyOFP6、焦半径:归纳:抛物线的几何性质图形方程焦点准线范围顶点对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0))0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF2px2px2py2pyx≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤0x∈R(0,0)x轴y轴1因为抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点M(2,),22解:所以设方程为:)0(22ppxy又因为点M在抛物线上:所以:2(22)22p2p因此所求抛物线标准方程为:24yx例1:已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点M(2,),求它的标准方程.22当焦点在x(或y)轴上,开口方向不定时,设抛物线方程为y2=2mx(m≠0)(或x2=2my(m≠0)),可避免讨论。典例精析:关于坐标轴对称例2:探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为60cm,灯深40cm,求抛物线的标准方程和焦点位置。xyOBA(40,30)解:所在平面内建立直角坐标系,使反射镜的顶点与原点重合,x轴垂直于灯口直径.在探照灯的轴截面设抛物线的标准方程为:y2=2px(p0)由条件可得A(40,30),代入方程得:302=2p·40解之:p=445故所求抛物线的标准方程为:y2=x,245焦点为(,0)845211221220.,,,.:||ypxpFlAxyBxyABxxp例3已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点求证121222:()()ABAFBFppxxxxp解解这题,你有什么方法呢?法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);法三:设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,计算弦长.例4、斜率为1的直线经过抛物线的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长。(即课本P69例4)l24yxAA`B`BFOxyAA`B`BFOxy432.图.:,,,,,101122xlFpp准线焦点由题意可知解如.,,,,,,,.BAddlBAyxByxA的距离分别为到准线设图2211432.||,||1121xdBFxdAFBA由抛物线的定义可知.||||||221xxBFAFAB于是1101.,,xyABF方程为的所以直线为由已知得抛物线的焦点.,xxxy412122得代入将AA`B`BFOxy432.图.0162xx化简得.||,,822232232121xxABxx于是由求根公式得621xx或由韦达定理得.,8的长是线段所以AB例4、斜率为1的直线经过抛物线的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长。(即课本P69例4)l24yxAA`B`BFOxy21122121222121211610611148:,:(,),(,),,,||()AByxxxAxyBxyxxxxABxxxx另法直线的方程为代入双曲线方程得设则2112212121212161061628222:,:(,),(,),,,||()()AByxxxAxyBxyxxxxppABxxxxp另法直线的方程为代入双曲线方程得设则24l例5:图中是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水下降1米后,水面宽多少?(课本P74第8题)xoAy思考题2BA(2,-2)x2=-2y6xB(1,y)y=-0.5B到水面的距离为1.5米不能安全通过y=-3代入得26水面宽若在水面上有一宽为2米,高为1.6米的船只,能否安全通过拱桥?例6.点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1,求点M的轨迹方程.xyoF(4,0)Mx+5=0解:由已知条件可知,点M与点F的距离等于它到直线x+4=0的距离,根据抛物线的定义,点M的轨迹是以点F(4,0)为焦点的抛物线.∵p/2=4,∴p=8.又因为焦点在轴的正半轴,所以点M的轨迹方程为y2=16x.今日作业:训练与测评P13:1-9(第10题不做)
本文标题:高中数学选修2-1.2.4.2抛物线的简单几何性质(第1课时)2013.12.18
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