2017北京市高一数学初赛试题及解答

2017年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题参考解答第1页共6页2017年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题参考解答（2017年4月9日）选择题答案123456AABDCD填空题答案123456782489.52504(1242)410145一、选择题1．集合A={2,0,1,7}，B={x|x2−2A,x−2A}，则集合B的所有元素之积为（A）36．（B）54．（C）72．（D）108．答：A．解：由x2−2A，可得x2=4，2，3，9，即x=2，2，3，3．又因为x−2A，所以x2，x3，故x=−2，2，3，−3．因此，集合B={−2,−2,2,−3,3，−3}．所以，集合B的所有元素的乘积等于(−2)(−2)(2)(−3)(3)(−3)=36．2．已知锐角△ABC的顶点A到它的垂心与外心的距离相等，则tan(2BAC)=（A）33．（B）22．（C）1．（D）3．答：A．解：作锐角△ABC的外接圆，这个圆的圆心O在形内，高AD，CE相交于点H，锐角△ABC的垂心H也在形内．连接BO交⊙O于K，BK为O的直径.连接AK，CK．因为AD，CE是△ABC的高，∠KAB，∠KCB是直径BK上的圆周角，所以∠KAB=∠KCB=90°．于是KA//CE，KC//AD，因此AKCH是平行四边形．ABCDOHKE2017年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题参考解答第2页共6页所以KC=AH=AO=12BK．在直角△KCB中，由KC=12BK，得∠BKC=60°，所以∠BAC=∠BKC=60°．故tan(2BAC)=tan30°=33．3．将正奇数的集合{1,3,5,7,…}从小到大按第n组2n−1个数进行分组：{1}，{3,5,7}，{9,11,13,15,17}，…，数2017位于第k组中，则k为（A）31．（B）32．（C）33．（D）34．答：B.解：数2017是数列an=2n−1的第1009项．设2017位于第k组，则1+3+5+…+(2k−1)≥1009，且1+3+5+…+(2k−3)＜1009．即k是不等式组221009(1)1009kk的正整数解，解得k=32，所以2017在第32组中．4．如图，平面直角坐标系x-O-y中，A,B是函数y=1x在第I象限的图象上两点，满足∠OAB=90°且AO=AB，则等腰直角△OAB的面积等于（A）12．（B）22．（C）32．（D）52．答：D．解：依题意，∠OAB=90°且AO=AB，∠AOB=∠ABO=45°．过点A做y轴垂线交y轴于点C，过点B做y轴平行线，交直线CA于点D．易见△COA≌△DAB．设点A(a,1a)，则点B(a+1a,1a−a)．因为点B在函数y=1x的图象上，所以(a+1a)(1a−a)=1，即21a−a2=1．因此S△ABC=12OA2=12(21a+a2)=1222215()42aa．5．已知f(x)=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，且当m=1,2,3,4时，f(m)=2017m，则f(10)−f(−5)=（A）71655．（B）75156．（C）75615．（D）76515．答：C．解：因为当m=1,2,3,4时，f(m)=2017m，所以1,2,3,4是方程f(x)−2017x=0的ABOyxy=1xABOyxy=1xDC2017年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题参考解答第3页共6页四个实根，由于5次多项式f(x)−2017x有5个根，设第5个根为p，则f(x)−2017x=(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−p)即f(x)=(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−p)+2017x．所以f(10)=9×8×7×6(10−p)+2017×10，f(−5)=−6×7×8×9(5+p)−2017×5，因此f(10)−f(−5)=15(9×8×7×6+2017)=75615．6．已知函数2||,,()42,.xxafxxaxaxa若存在实数m，使得关于x的方程f(x)=m有四个不同的实根，则a的取值范围是（A）17a．（B）16a．（C）15a．（D）14a．答：D．解：要使方程f(x)=m有四个不同的实根，必须使得y=m的图像与y=f(x)的图像有4个不同的交点．而直线与y=|x|的图像及二次函数的图像交点都是最多为两个，所以y=m与函数y=|x|,x≤a的图像和y=x2−4ax+2a,x＞a的图像的交点分别都是2个．而存在实数m，使y=m与y=|x|,x≤a的图像有两个交点，需要a＞0，此时0＜m≤a；又因为y=x2−4ax+2a,x＞a顶点的纵坐标为242(4)4aa，所以，要y=m与y=x2−4ax+2a,x＞a的图像有两个交点，需要m＞242(4)4aa．因此y=m的图像与y=f(x)的图像有4个不同的交点需要满足：0＜m≤a且m＞242(4)4aa，解得14a．二、填空题1.用[x]表示不超过x的最大整数，设[1][2][3][99]S，求[]S的值．答：24．解：因为12≤1,2,3＜22，所以1≤1,2,3＜2，因此[1][2][3]1，共3个1；同理，22≤4,5,6,7,8＜32，因此，[4][5][6][7][8]2，共5个2；又32≤9,10,11,12,13,14,15＜42，因此[9][10]=[15]3，共7个3；依次类推，[16][17][23][24]4，共9个4；[25][26][34][35]5，共11个5；[36][37][47][48]6，共13个6；2017年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题参考解答第4页共6页[49][50][62][63]7，共15个7；[64][65][79][80]8，共17个8；[81][82][98][99]9，共19个9.S=([1][2][3])+([4][5][6][7][8])+…+([81][99])=1×3+2×5+3×7+4×9+5×11+6×13+7×15+8×17+9×19=615．因为242=576＜615=S＜625=252，即24＜S＜25，所以，[S]=24．2．确定(201721log2017×201741log2017×201781log2017×2017161log2017×2017321log2017)15的值．答：8．解：原式=(20172017log2×20172017log4×20172017log8×20172017log16×20172017log32)15=(2×4×8×16×32)15=(21×22×23×24×25)15=(21+2+3+4+5)15=(215)15=23=8．3．已知△ABC的边AB=29厘米，BC=13厘米，CA=34厘米，求△ABC的面积．答：9.5平方厘米．解：注意到13=32+22，29=52+22，34=52+32，作边长为5厘米的正方形AMNP，分成25个1平方厘米的正方形网格，如图．根据勾股定理，可知，AB=29厘米，BC=13厘米，CA=34厘米，因此△ABC的面积可求．△ABC的面积=5×5−12×3×5−12×2×5−12×2×3=9.5（平方厘米）．4.设函数222(1)ln(1)()1xxxfxx的最大值为M，最小值为N，试确定M+N的值．答：2．解：由已知得222ln(1)()11xxxfxx因为2222ln(1)ln(()1())ln[(()1())(()1())]xxxxxxxx=22ln(()1())ln10xx，所以22ln(()1())ln(1)xxxx，因此，2ln(1)xx是奇函数．进而可判定，函数222ln(1)()1xxxgxx为奇函数．NAMBCP2017年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题参考解答第5页共6页则g(x)的最大值M1和最小值N1满足M1+N1=0．因为M=M1+1，N=N1+1，所以M+N=2．5．设A是数集{1,2,…,2017}的n元子集，且A中的任意两个数既不互质，又不存在整除关系，确定n的最大值．答：504．解：在数集{1,2,…,2017}中选取子集，使得子集中任意两个数不互质，最大的子集是偶数集{2,4,…,2016}共1008个元素，但其中，有的元素满足整除关系，由于1010的2倍是2020，所以集合A={1010,1012,1014,…,2016}中，任意两个数既不互质，又不存在整除关系，A中恰有504个元素．事实上504是n的最大值．因为若从{1009,1011,…,2017}中任取一个奇数，会与A中的与它相邻的偶数互质；若从{1,2,3,…,1008}中任取一数，则它的2倍在A中，存在整除关系．6．如图，以长为4厘米的线段AB的中点O为圆心、2厘米为半径画圆，交AB的中垂线于点E和F.再分别以A、B为圆心，4厘米为半径画圆弧交射线AE于点C，交射线BE于点D.再以E为圆心DE为半径画圆弧DC，求这4条实曲线弧连接成的“卵形”AFBCDA的面积．（圆周率用π表示，不取近似值）答：(12−42)π−4平方厘米．解：半圆(O,2)的面积=12π×22=2π．因为AO=OB=2，所以AB=AC=BD=4，AE=BE=22，ED=EC=4−22．又∠AEB=∠CED=90°，∠EAB=∠EBA=45°，因此，扇形BAD的面积=扇形ACB的面积=18π×42=2π，△AEB的面积=12×4×2=4，直角扇形EDC的面积=14π(4−22)2=6π−42π，卵形AFBCDA的面积=半圆(O,2)的面积+扇形BAD的面积+扇形ACB的面积−△AEB的面积+直角扇形EDC的面积=2π+2×2π−4+6π−42π=(12−42)π−4（平方厘米）．7.已知22()1005000xfxxx，求f(1)+f(2)+…+f(100)的值．答：101．解：设g(x)=x2−100x+5000，则g(100−x)=(100−x)2−100(100−x)+5000=1002−200x+x2−1002+100x+5000BFADCEO2017年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题参考解答第6页共6页=x2−100x+5000=g(x)，即g(k)=g(100−k)．所以f(k)+f(100−k)=22(100)()(100)kkgkgk=22(100)()kkgk=2，又f(50)=2250=150100505000，f(100)22100==2.1001001005000所以，f(1)+f(2)+…+f(100)=(f(1)+f(99))+(f(2)+f(98))+…+(f(49)+f(51))+f(50)+f(100)=2×49+1+2=101．8．如图，在锐角△ABC中，AC=BC=10，D是边AB上一点，△ACD的内切圆和△BCD的与BD边相切的旁切圆的半径都等于2，求AB的长．答：45．解：线段AB被两圆与AB的切点及点D分成四段，由于两圆半径相等，再根据切线长定理，可知中间两段相等，于是可将这四段线段长度分别记为a,b,b,c，由于圆O2的切线长CE=CG，所以BC+a=CD+b=(AC−c+b)+b，而AC=BC，所以a+c=2b．由等角关系可得△AO1F∽△O2BE，得12OFBEAFOE，即22ac，由此推出ac=4．分别计算△BCD和△ACD的面积：12(),2BCDSBCCDBD12()2ACDSACCDAD所以24ACDBCDSSADBDABacbb.①又设由C引向AB的高为h，可得22211()()410(2)22ACDBCDSScahcaacb②由①、②两式可得22214()410(2)