高三复习：极坐标与参数方程(复习课)

极坐标与参数方程（一）弦长问题（二）距离的最值问题【2016高考新课标3理数】在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为3cos()sinxy为参数，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin()224．（I）写出1C的普通方程和2C的直角坐标方程；（II）设点P在1C上，点Q在2C上，求PQ的最小值及此时P的直角坐标在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为，（t为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为，A，B两点的极坐标分别为．（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）点P是圆C上任一点，求△PAB面积的最小值．（三）面积的最值问题(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4.(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为2，π3，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．高考链接【解析】(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ10)．由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝4cosθ.由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ(ρ0)．因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB0)．由题设知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB的面积S＝12|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cosα·sinα－π3＝2sin2α－π3－32≤2＋3.当α＝－π12时，S取得最大值2＋3.所以△OAB面积的最大值为2＋3.(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝3cosθ，y＝sinθ，(θ为参数)，直线l的参数方程为x＝a＋4t，y＝1－t，(t为参数)．(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为17，求a.高考链接【解析】(1)曲线C的普通方程为x29＋y2＝1.当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0，由x＋4y－3＝0，x29＋y2＝1，解得x＝3，y＝0或x＝－2125，y＝2425.从而C与l的交点坐标为(3,0)，（－2125，2425）.(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，故C上的点(3cosθ，sinθ)到l的距离为d＝|3cosθ＋4sinθ－a－4|17.当a≥－4时，d的最大值为a＋917.由题设得a＋917＝17，所以a＝8；当a＜－4时，d的最大值为－a＋117.由题设得－a＋117＝17，所以a＝－16.综上，a＝8或a＝－16.[技法领悟](1)参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式，在消参时要注意参变量的范围．(2)在参数方程应用不够熟练的情况下，可将其先化成直角坐标系下的普通方程，这样思路会更加清晰．解析：(1)曲线C的参数方程为x＝2cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)．直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.(2)曲线C上任意一点P(2cosθ，3sinθ)到l的距离为d＝55|4cosθ＋3sinθ－6|，则|PA|＝dsin30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tanα＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为255.