高考数学函数的应用题

函数的应用题【热点聚焦】最近几年的高试题，加强了对函数应用题的考查，主要的是将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义等等．【基础知识】运用函数概念建立模型研究解决某些实际问题的过程和方法：1）建立实际问题中的变量之间的函数关系，从而将实际问题转化为函数问题；2）运用所学知识研究函数问题得到函数问题的解答；3）将函数问题的解翻译或解释成实际问题的解，从而解决实际问题．根据收集到的数据的特点建立函数模型，解决实际问题的基本过程：【课前训练】1．老师今年用7200元买一台笔记本．电子技术的飞速发展，计算机成本不断降低，每隔一年计算机的价格降低三分之一．三年后老师这台笔记本还值（）A．7200×（31）3元B．7200×（32）3元C．7200×（31）2元D．7200×（32）2元2．化学上常用pH来表示溶液酸碱性的强弱，pH＝－1g｛c（H＋）｝，其中f（H＋）表示溶液中H＋的浓度．若一杯胡萝卜汁的c（H＋）＝1×10－5mol/L，则这杯胡萝卜汁的pH是（）A．2B．3C．4D．53．如果某林区的森林蓄积量每年平均比上一年增长10.4％，那么经过x年可以增长到原来的y倍，则函数y＝f（x）的图象大致为图中的（）．4．邮局规定，邮寄包裹，在5千克内每千克5元，超过5千克按每千克3元收费，邮费与邮寄包裹重量的函数关系式为____．图2图15．某工厂八年来某种产品总产量C与时间t（年）的函数关系如图所示，下列四种说法：（1）前三年中产量增长的速度越来越快；（2）前三年中产量增长的速度越来越慢；（3）三年后，这种产品停止生产了；（4）第三年后，年产量保持不变．其中说法正确的是____．【试题精析】【例1】(2007年上海春季高考试题)某人定制了一批地砖.每块地砖(如图1所示）是边长为4.0米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格之比依次为3:2:1.若将此种地砖按图2所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH.(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)FE、在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？【例2】（2003北京春）某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？【评述】本题贴近生活.要求考生读懂题目，迅速准确建立数学模型，把实际问题转化为数学问题并加以解决.【例3】（2000全国卷）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图2—10中（1）的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2—10中（2）的抛物线表示.（1）写出图中（1）表示的市场售价与时间的函数关系式P＝f（t）；写出图中（2）表示的种植成本与时间的函数关系式Q＝g（t）；（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?（注：市场售价和种植成本的单位：元／102，ｋg，时间单位：天）【评述】本题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题.考查运用所学知识解决实际问题的能力.【例4】（2001上海卷）用水清洗一堆蔬菜上残留的农药．对用一定量的水清洗一次．．．．的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的21，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x单位量的水清洗一次．．．．以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f（x）.（1）试规定f（0）的值，并解释其实际意义；（2）试根据假定写出函数f（x）应该满足的条件和具有的性质；（3）设f（x）=211x，现有a（a＞0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少?说明理由.【评述】本题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力．以及函数概念、性质和不等式证明的基本方法．【例5】据世界人口组织公布，地球上的人口在公元元年为2.5亿，1600年为5亿，1830年为10亿，1930年为20亿，1960年为30亿，1974年为40亿，1987年为50亿，到1999年底，地球上的人口数达到了60亿．请你根据20世纪人口增长规律推测，到哪年世界人口将达到100亿？到2100年地球上将会有多少人口？【例6】(2007年襄樊市调研试题)通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设)(tf表示学生注意力随时间t(分钟)的变化规律()(tf越大，表明学生注意力越集中)，经过实验分析得知：40203807201024010010024)(2tttttttf(1)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？(2)讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？(3)一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？【针对练习】1．(2007年襄樊市调研试题)用清水漂洗衣服，假定每次能洗去污垢的43，若要使存留的污垢不超过原有的1％，则至少要漂洗()A．3次B．4次C．5次D．6次2．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是()Ay=2x(x∈N*)B.y=2x(x∈N*)C.y=2x+1(x∈N*)D.y=log2x(x∈N*)3．对山东省某县农村抽样调查，结果如下：电冰箱拥有率49%，电视机拥有率85%，洗衣机拥有率44%，至少拥有上述三种家用电器中两种以上的占63%，三种电器齐全的占25%，那么一种电器也没有的相对贫困户所占比例为()A.35%B.10%C.15%D.资料不全，难以判断4．北京电视台每星期六晚播出《东芝动物乐园》，在这个节目中曾经有这样一个抢答题：小蜥蜴体长15cm，体重15g，问：当小蜥蜴长到体长为20cm时，它的体重大约是（）A．20gB．25gC．35gD．40g5．向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量y与水深入的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是……（）6．1999年11月1日起，全国储蓄存款征收利息税，利息税的税率为20％，即储蓄利息的20%由各银行储蓄点代扣代缴，某人在1999年11月l日存入人民币1万元，存期2年，年利率为2.25％，则到期可净得本金和利息总计____元．7．已知函数f（x）的图象如右图，试写出一个可能的解析式____．8．根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999年上海市完成GDP（GDP是指国内生产总值）4035亿元，2000年上海市GDP预期增长9％，市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08％．若GDP与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均（GDP达到或超过1999年的2倍，至少需____年．（按1999年本市常住人口总数约1300万计算）9．我国水资源相对贫乏，某市节水方法是：水费＝基本费＋超额费＋损耗费．若每月用水量不超过最低限量pm3时，只付基本费8元和每户每月定额损耗费q元；若用水量超过pm3时，除了付上述的基本费和损耗外，超过部分每m3付r元的超额费，已知每户每月的定额损耗不超过5元，该市一家庭某季度的用水量支付如下表：月份用水量（m3）水费（元）1992151932233（1）写出水费y（元）与用水量x（m3）的函数关系式（这里的p，q，r可作为已知数）；（2）根据数据表，求p，q，r的值．10．某公司生产某种产品的固定成本为150万元，而每件产品的可变成本为2500元，每件产品的售价为3500元.（1）分别求出总成本y1、单位成本y2、销售总收入y3、总利润y4与总产量x的函数解析式；（2）根据所求函数的图象，对这个公司的经济效益作出简单分析第七节参考答案【课前训练】1．答案：B解析：此题关键是读懂每隔一年价格降低三分之一的含义．设原价为1，一年后降价为32，再过一年降价为32×32，……，三年后降价为32×32×32＝（32）3，故选B．2．答案：D3．答案：D解析：y＝（1＋0.104％）x，如图D4．答案：f（x）＝)5(3)5(5＞xxxx5．答案：（2）（3）（4）解析：从图形得知前三年的总产量增长趋势是先快后慢，所以（2）是正确的；三年后总产量不变，说明没有新的产量增加，所以（3）或（4）都是正确的．【试题精析】【例1】(1)证明：图2是由四块图1所示地砖绕点C按顺时针旋转90后得到，△CFE为等腰直角三角形，四边形EFGH是正方形.(2)解：设xCE，则xBE4.0，每块地砖的费用为W，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD三种材料的每平方米价格依次为3a、2a、a(元)，则axxaxaxW)4.0(4.0212116.02)4.0(4.0213212224.02.02xxa4.00,23.0)1.0(2xxa.由0a，当1.0x时，W有最小值，即总费用为最省.答：当1.0CFCE米时，总费用最省.【例2】解：（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为：5030003600=12，所以这时租出了88辆车.（2）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为：f（x）=（100－503000x）（x－150）－503000x×50，整理得：f（x）=－502x+162x－21000=－501（x－4050）2+307050.所以，当x=4050时，f（x）最大，其最大值为f（4050）=307050.即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元.【例3】解：（1）由图（1）可得市场售价与时间的函数关系为f（t）＝;300200,3002,2000,300tttt由图（2）可得种植成本与时间的函数关系为g（t）＝2001（t－150）2＋100，0≤t≤300．（2）设t时刻的纯收益为h（t），则由题意得h（t）＝f（t）－g（t），即h（t）＝.300200,21025272001,2000,217521200122tttttt当0≤t≤200时，配方整理得h（t）＝－2001（t－50）2＋100，所以，当t＝50时，h（t）取得区间［0，200］上的最大值100；当200＜t≤300时，配方整理得h（t）＝－2001（t－350）2＋100，所以，当t＝300时，h（t）取得区间（200，300］上的最大值87.5.综上，由100＞87．5可知，h（t）在区间［0，300］上可以取得最大值100，此时t＝50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大.【例4】解：（1）f（0）=1表示没有用水洗时，蔬菜上的农药量将保持原样．（2）函数f（x）应该满足的条件和具有的性质是：f（0）=1，f（1）=21，在［0，＋∞）上f（x）单调递减，且0＜f（x）≤1．（3）设仅清洗一次，残留的农药量为f1＝211a，清洗两次后，残留的农药量为f2＝2222)4(16)2(11aa，则f1－f2＝22222222)4)(1()8()4(1611aaaaaa．于是，当a＞22时