高考数学复习第一轮复习第30讲等差数列

高考数学复习第一轮复习第30讲：等差数列【高考要求】1.理解并掌握等差的定义及通项公式和前n项和公式；2.理解并掌握等差数列的判定方法；3.掌握并能熟练应用等差数列的常用性质解题【知识梳理】一、等差数列的概念1.定义：如果一个数列从第_____项起，____________________等于同一个常数d，这个数列叫做等差数列，常数d称为等差数列的__________.2.通项公式与前n项和公式⑴通项公式:_____________________，1a为首项，d为公差.(知三求一)推广：______________________；变形：______________________⑵前n项和公式:___________________或__________________.（知三求二）3.等差中项如果bAa,,成等差数列，那么_____叫做____与____的等差中项.即：A是a与b的等差中项____baA2___a，A，b成等差数列.4.等差数列的判定方法⑴定义法：___________________________na是等差数列；⑵中项法:___________________________na是等差数列；(3)通项公式法：___________________________na是等差数列；(4)前n项和公式法：___________________________na是等差数列；二、等差数列的常用性质1.数列na是等差数列，则数列pan、npa（p是常数）都是_______,公差分别为________、_________2.在等差数列na中，等距离．．．取出若干项也构成一个____数列，即,,,,32knknknnaaaa为_______数列，公差为_____；3.若等差数列na的前n项和nS，则nSn是______数列,公差为_______；4.mmmmmSSSSS232,,是______数列,公差为_________；5.若),,,(Nqpnmqpnm，则_________________；6.rqp,,成等差数列，则rqpaaa,,_________；7.当项数为)(2Nnn，则奇偶SS___________；奇偶SS=_____________；当项数为)(12Nnn，则偶奇SS_________；奇偶SS=_____________；8.设nS、nT分别是等差数列na、nb的前n项和，则nnba=_____________三、主要方法1．解决等差数列和等比数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于1a和()dq的方程；②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．2．深刻领会两类数列的性质，弄清通项和前n项和公式的内在联系是解题的关键．【热身反馈】1.等差数列na中，如果9,3,131naaa，那么n=________2.等差数列na的公差d0，若8,124242aaaa，则通项公式na_______3.等差数列na公差d=2，20...26852aaaa，则25741...aaaa____4．已知等差数列na的前和为nS，若OCaOAaOB2001且A,B,C三点共线（该直线不过原点），则S200=_____。5.已知nS为等差数列na的前n项和，1006a，则11S；6.设nS、nT分别是等差数列na、na的前n项和，327nnTSnn，则55ba.7.等差数列前m项和是30，前2m项和是100，则它的前3m项和是_______8．在等差数列na中，若4,184SS，则20191817aaaa的值为__________【范例精讲】考点一：根据基本量求解（方程的思想）例1、（1）已知等差数列na中，86,202211aa，求数列的通项na；（2）已知nS为等差数列na的前n项和，63,6,994nSaa，求n；变式：已知等差数列na中，3a与4a的等比中项为5a，3a与4a的等差中项为1，求数列na的通项。考点二：等差数列的性质例2．（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390,则这个数列有几项？(2)等差数列{}na中共有奇数项，且此数列中的奇数项之和为77，偶数项之和为66，11a，求其项数和中间项.变式：1.若数列{}na成等差数列，且,()mnSnSmmn，求nmS．2.设等差数列na的前n项和为nS，已知0,0,1213123SSa。（1）求公差d的取值范围；（2）指出12321,...,,,SSSS中哪一个最大，并说明理由。考点三：等差数列的综合应用例3．在各项均为正数的数列{}na中，前n项和为nS，满足：)12(12nnnaaS，)(*Nn。证明：数列{}na为等差数列，并求na和nS的表达式。变式：已知数列{}na的前项和为nS，且满足)2(021nSSannn，211a。（1）求证}1{nS是等差数列；（2）求na的表达式例4．若nS和nT分别表示数列{}na和{b}n的前n项和，对任意自然数n，有232nna，41213nnTSn，（1）求数列{b}n的通项公式；（2）设集合*{|2,}nAxxanN，*{|4,}nByybnN．若等差数列{}nc任一项1,ncABc是AB中的最大数，且10265125c，求{}nc的通项公式．变式：已知等差数列{}na的前n项和为),,(2*2NnRqpqnpnSn，（1）求q;（2）若51,aa的等差中项为18，满足nnba2log2，求数列}{nb的前项和。【随堂自测】1．在等差数列{}na中，已知311a，33,552naaa，则n=________2.已知na为等差数列，20,86015aa，则75a3．设等差数列{}na的公差0d，da91。若ka是1a与ka2的等比中项，则______k4．已知方程0)2)(2(22nxxmxx的四个根组成一个首项为41的等差数列，则||nm=_______5．设nS是等差数列na的前n项和，若5935,95SSaa则______6.等差数列na中，已知848161,=3则SSSS________7．等差数列{}na的前和为nS，若2112S，则11852aaaa________8．设数列{}na的前n项和为nS，且对任意正整数n，4096nnSa。（1）求数列{}na的通项公式；（2）设数列}{log2na的前n项和nT，从第几项起有?509nT