高考数学总复习经典测试题解析版134数学归纳法

13.4数学归纳法一、选择题1．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是()．A．假设n＝k(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1命题成立C．假设n＝2k＋1(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立D．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2命题成立解析A、B、C中，k＋1不一定表示奇数，只有D中k为奇数，k＋2为奇数．答案D2．用数学归纳法证明“2n＞n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A．2B．3C．5D．6解析分别令n0＝2,3,5,依次验证即可．答案C3．对于不等式n2＋nn＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n＝1时，12＋11＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时，不等式成立，即k2＋kk＋1，则当n＝k＋1时，k＋2＋k＋＝k2＋3k＋2k2＋3k＋＋k＋＝k＋2＝(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法()．A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确解析在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法．答案D4.利用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－an＋21－a(a≠1，n∈N*)”时，在验证n＝1成立时，左边应该是()A1B1＋aC1＋a＋a2D1＋a＋a2＋a3解析当n＝1时，左边＝1＋a＋a2，故选C.答案C5．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝n4＋n22，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上()．A．k2＋1B．(k＋1)2C.k＋14＋k＋122D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2[来源:学科网]解析∵当n＝k时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k2，当n＝k＋1时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2，∴当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2.答案D6．下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是()A．6＋6·7kB．2＋7k－1C．2(2＋7k＋1)D．3(2＋7k)解析(1)当k＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除．(2)假设当k＝n(n∈N*)时，命题成立，即3(2＋7n)能被9整除，那么3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36.这就是说，k＝n＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，命题对任何k∈N*都成立．答案D7．用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上()．A.12k＋2B．－12k＋2C.12k＋1－12k＋2D.12k＋1＋12k＋2解析∵当n＝k时，左侧＝1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k，当n＝k＋1时，左侧＝1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＋12k＋1－12k＋2.答案C二、填空题8．对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式：22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7；23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19.根据上述分解规律，若n2＝1＋3＋5＋…＋19,m3(m∈N*)的分解中最小的数是21，则m＋n的值为________．解析依题意得n2＝＋2＝100,∴n＝10.易知m3＝21m＋mm－2×2,整理得(m－5)(m＋4)＝0,又m∈N*,所以m＝5,所以m＋n＝15.答案159.用数学归纳法证明：121×3＋223×5＋…＋n2(2n－1)(2n＋1)＝n(n＋1)2(2n＋1)；当推证当n＝k＋1等式也成立时，用上归纳假设后需要证明的等式是.解析当n＝k＋1时，121×3＋223×5＋…＋k2(2k－1)(2k＋1)＋(k＋1)2(2k＋1)(2k＋3)＝k(k＋1)2(2k＋1)＋(k＋1)2(2k＋1)(2k＋3)[来源:学。科。网]故只需证明k(k＋1)2(2k＋1)＋(k＋1)2(2k＋1)(2k＋3)＝(k＋1)(k＋2)2(2k＋3)即可.答案k(k＋1)2(2k＋1)＋(k＋1)2(2k＋1)(2k＋3)＝(k＋1)(k＋2)2(2k＋3)10．如下图，在杨辉三角形中，从上往下数共有n(n∈N*)行，在这些数中非1的数字之和是________________．111121133114641…解析所有数字之和Sn＝20＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1，除掉1的和2n－1－(2n－1)＝2n－2n.答案2n－2n11．在数列{an}中，a1＝13且Sn＝n(2n－1)an，通过计算a2，a3，a4，猜想an的表达式是________．解析当n＝2时，a1＋a2＝6a2，即a2＝15a1＝115；当n＝3时，a1＋a2＋a3＝15a3，即a3＝114(a1＋a2)＝135；当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝28a4，即a4＝127(a1＋a2＋a3)＝163.∴a1＝13＝11×3，a2＝115＝13×5，a3＝135＝15×7，a4＝17×9，故猜想an＝1n－n＋.答案an＝1n－n＋12．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．解析∵n为正奇数，假设n＝2k－1成立后，需证明的应为n＝2k＋1时成立．答案2k＋1三、解答题13．用数学归纳法证明下面的等式12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1nn＋2.证明(1)当n＝1时，左边＝12＝1，右边＝(－1)0·＋2＝1，∴原等式成立．(2)假设n＝k(k∈N*，k≥1)时，等式成立，即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＝(－1)k－1kk＋2.那么，当n＝k＋1时，则有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＋(－1)k(k＋1)2＝(－1)k－1kk＋2＋(－1)k·(k＋1)2＝(－1)k·k＋12[－k＋2(k＋1)]＝(－1)kk＋k＋2，∴n＝k＋1时，等式也成立，由(1)(2)得对任意n∈N*有12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1nn＋2.14．已知数列{an}中，a1＝a(a＞2)，对一切n∈N*，an＞0，an＋1＝a2nan－.求证：an＞2且an＋1＜an.证明法一∵an＋1＝a2nan－＞0，∴an＞1，∴an－2＝a2n－1an－1－－2＝an－1－2an－1－≥0，∴an≥2.若存在ak＝2，则ak－1＝2，由此可推出ak－2＝2，…，a1＝2，与a1＝a＞2矛盾，故an＞2.∵an＋1－an＝an－anan－＜0，∴an＋1＜an.法二(用数学归纳法证明an＞2)①当n＝1时，a1＝a＞2，故命题an＞2成立；②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时命题成立，即ak＞2，那么，ak＋1－2＝a2kak－－2＝ak－2ak－＞0.所以ak＋1＞2，即n＝k＋1时命题也成立．综上所述，命题an＞2对一切正整数成立．an＋1＜an的证明同上．15．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝c－1an.(1)设c＝52，bn＝1an－2，求数列{bn}的通项公式；(2)求使不等式an＜an＋1＜3成立的c的取值范围．解析(1)an＋1－2＝52－1an－2＝an－22an，1an＋1－2＝2anan－2＝4an－2＋2，即bn＋1＝4bn＋2.bn＋1＋23＝4bn＋23，又a1＝1，故b1＝1a1－2＝－1，所以bn＋23是首项为－13，公比为4的等比数列，bn＋23＝－13×4n－1，bn＝－4n－13－23.(2)a1＝1，a2＝c－1，由a2＞a1，得c＞2.用数学归纳法证明：当c＞2时，an＜an＋1.(ⅰ)当n＝1时，a2＝c－1a1＞a1，命题成立；(ⅱ)设当n＝k(k≥1且k∈N*)时，ak＜ak＋1，则当n＝k＋1时，ak＋2＝c－1ak＋1＞c－1ak＝ak＋1.故由(ⅰ)(ⅱ)知当c＞2时，an＜an＋1.当c＞2时，因为c＝an＋1＋1an＞an＋1an，所以a2n－can＋1＜0有解，所以c－c2－42＜an＜c＋c2－42，令α＝c＋c2－42，当2＜c≤103时，an＜α≤3.当c＞103时，α＞3，且1≤an＜α，于是α－an＋1＝1anα(α－an)＜13(α－an)＜132(α－an－1)＜…13n(α－1)．当n＞log3α－1α－3时，α－an＋1＜α－3，an＋1＞3，与已知矛盾．因此c＞103不符合要求．所以c的取值范围是2，103.16．是否存在常数a、b、c使等式12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝an(bn2＋c)对于一切n∈N*都成立，若存在，求出a、b、c并证明；若不存在，试说明理由．解析假设存在a、b、c使12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝an(bn2＋c)对于一切n∈N*都成立．当n＝1时，a(b＋c)＝1；当n＝2时，2a(4b＋c)＝6；当n＝3时，3a(9b＋c)＝19.解方程组ab＋c＝1，ab＋c＝3，3ab＋c＝19.解得a＝13，b＝2，c＝1.证明如下：①当n＝1时，由以上知存在常数a，b，c使等式成立．②假设n＝k(k∈N*)时等式成立，即12＋22＋32＋…＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12＝13k(2k2＋1)；当n＝k＋1时，12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12＝13k(2k2＋1)＋(k＋1)2＋k2＝13k(2k2＋3k＋1)＋(k＋1)2＝13k(2k＋1)(k＋1)＋(k＋1)2＝13(k＋1)(2k2＋4k＋3)＝13(k＋1)[2(k＋1)2＋1]．即n＝k＋1时，等式成立．因此存在a＝13，b＝2，c＝1使等式对一切n∈N*都成立．