高考数学课下练兵导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例

taoti.tl100.com你的首选资源互助社区诚信经营超值服务——天利会员：诚信精品——与您共建淘题精品世界第1页共6页第二章第十二节导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例课下练兵场命题报告难度及题号知识点容易题(题号)中等题(题号)稍难题(题号)函数的单调性与导数1、34、6、10函数的极值与导数2、7函数的最值与导数5、8、911生活中的优化问题12一、选择题1.(2009·广东高考)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()A.(－∞，2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2，＋∞)解析：f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)0，解得x2.答案：D2.已知函数f(x)的导数为f′(x)＝4x3－4x，且f(x)的图象过点(0，－5)，当函数f(x)取得极大值－5时，x的值应为()A.－1B.0C.1D.±1解析：可以求出f(x)＝x4－2x2＋c，其中c为常数由于f(x)过(0，－5)，所以c＝－5，又由f′(x)＝0，得极值点为x＝0和x＝±1.又x＝0时，f(x)＝－5，故x的值为0.答案：B3.若函数f(x)＝ax3－3x在(－1,1)上单调递减，则实数a的取值范围是()A.a＜1B.a≤1C.0＜a＜1D.0＜a≤1解析：∵f′(x)＝3ax2－3，由题意f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立.若a≤0，显然有f′(x)＜0；若a＞0，由f′(x)≤0得－1a≤x≤1a，于是1a≥1，∴0＜a≤1，综上知a≤1.答案：B4.若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是先增后减的函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是()taoti.tl100.com你的首选资源互助社区诚信经营超值服务——天利会员：诚信精品——与您共建淘题精品世界第2页共6页解析：依题意，f′(x)在[a，b]上是先增后减的函数，则在f(x)的图象上，各点的切线的斜率先随x的增大而增大，然后随x的增大而减小，观察四个选项中的图象，只有选项C满足要求.答案：C5.函数f(x)＝12ex(sinx＋cosx)在区间[0，π2]上的值域为()A[211,22e]B(211,22e)C[21,e]D(21,e)解析：f′(x)＝12ex(sinx＋cosx)＋12ex(cosx－sinx)＝excosx，0≤x≤π2时，f′(x)≥0，∴f(x)是[0，π2]上的增函数，∴f(x)的最大值为f(π2)＝212ef(x)的最小值为f(0)＝12，∴f(x)在[0，π2]上的值域为[211,22e]答案：A6.已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x∈(－π2，π2)时，f(x)＝x＋sinx，则()A.f(1)f(2)f(3)B.f(2)f(3)f(1)C.f(3)f(2)f(1)D.f(3)f(1)f(2)解析：由f(x)＝f(π－x)，得函数f(x)的图象关于直线x＝π2对称，又当x∈(－π2，π2)时，f′(x)＝1＋cosx0恒成立，所以f(x)在(－π2，π2)上为增函数，f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)，且0π－31π－2π2，所以f(π－3)f(1)f(π－2)，即f(3)f(1)f(2).答案：Dtaoti.tl100.com你的首选资源互助社区诚信经营超值服务——天利会员：诚信精品——与您共建淘题精品世界第3页共6页二、填空题7.f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则常数c的值为.解析：f(x)＝x3－2cx2＋c2x，f′(x)＝3x2－4cx＋c2，f′(2)＝0⇒c＝2或c＝6.若c＝2，f′(x)＝3x2－8x＋4，令f′(x)＞0⇒x＜23或x＞2，f′(x)＜0⇒23＜x＜2，故函数在－∞，23及(2，＋∞)上单调递增，在ea223，上单调递减，∴x＝2是极小值点.故c＝2不合题意，c＝6.答案：68.若函数f(x)＝2xxa(a0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a的值为.解析：f′(x)＝22222222,()()xaxaxxaxa当xa时，f′(x)0，f(x)单调递减，当－axa时，f′(x)0，f(x)单调递增，当x＝a时，f(x)＝a2a＝33，a＝321，不合题意.∴f(x)max＝f(1)＝11a＝33，a＝3－1.答案：3－19.给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′.若f″(x)0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在(0，π2)上不是凸函数的是.(把你认为正确的序号都填上)①f(x)＝sinx＋cosx；②f(x)＝lnx－2x；③f(x)＝－x3＋2x－1；④f(x)＝xex.解析：对于①，f″(x)＝－(sinx＋cosx)，x∈(0，π2)时，f″(x)0恒成立；对于②，f″(x)＝－21x，在x∈(0，π2)时，f″(x)0恒成立；对于③，f″(x)＝－6x，在x∈(0，π2)时，f″(x)0恒成立；对于④，f″(x)＝(2＋x)·ex在x∈(0，π2)时f″(x)0恒成立，taoti.tl100.com你的首选资源互助社区诚信经营超值服务——天利会员：诚信精品——与您共建淘题精品世界第4页共6页所以f(x)＝xex不是凸函数.答案：④三、解答题10.(2009·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝13x3－(1＋a)x2＋4ax＋24a，其中常数a1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若当x≥0时，f(x)0恒成立，求a的取值范围.解：(1)f′(x)＝x2－2(1＋a)x＋4a＝(x－2)(x－2a)由已知a1，∴2a2，∴令f′(x)0，解得x2a或x2，∴当x∈(－∞，2)∪(2a，＋∞)时，f(x)单调递增，当x∈(2,2a)时，f(x)单调递减.综上，当a1时，f(x)在区间(－∞，2)和(2a，＋∞)是增函数，在区间(2,2a)是减函数.(2)由(1)知，当x≥0时，f(x)在x＝2a或x＝0处取得最小值.f(2a)＝13(2a)3－(1＋a)(2a)2＋4a·2a＋24a＝－43a3＋4a2＋24a＝－43a(a－6)(a＋3)，f(0)＝24a.解得1a6.故a的取范围是(1,6).11.已知函数f(x)＝lnx－ax.(1)当a0时，判断f(x)在定义域上的单调性；(2)若f(x)在[1，e]上的最小值为32，求a的值.解：(1)由题得f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝1x＋ax2＝x＋ax2.∵a0，∴f′(x)0，故f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数.(2)由(1)可知：f′(x)＝2xax，①若a≥－1，则x＋a≥0，即f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上为增函数，∴f(x)min＝f(1)＝－a＝32，∴a＝－32(舍去).②若a≤－e，则x＋a≤0，即f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上为减函数，taoti.tl100.com你的首选资源互助社区诚信经营超值服务——天利会员：诚信精品——与您共建淘题精品世界第5页共6页∴f(x)min＝f(e)＝1－ea＝32，∴a＝－e2(舍去).③若－ea－1，令f′(x)＝0，得x＝－a.当1x－a时，f′(x)0，∴f(x)在(1，－a)上为减函数；当－axe时，f′(x)0，∴f(x)在(－a，e)上为增函数，∴f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝32⇒a＝－e.综上可知：a＝－e.12.某分公司经销某种品牌的产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a(3≤a≤5)元的管理费，预计当每件产品的售价为x(9≤x≤11)元时，一年的销售量为(12－x)2万件.(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a).解：(1)分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为：L＝(x－3－a)(12－x)2，x∈[9,11].(2)L′(x)＝(12－x)2－2(x－3－a)(12－x)＝(12－x)(18＋2a－3x).令L′(x)＝0得x＝6＋23a或x＝12(不合题意，舍去).∵3≤a≤5，∴8≤6＋23a≤283.在x＝6＋23a两侧L′的值由正值变负值所以，当8≤6＋23a≤9，即3≤a≤92时，Lmax＝L(9)＝(9－3－a)(12－9)2＝9(6－a)；当9＜6＋23a≤283，即92＜a≤5时，Lmax＝L(6＋23a)＝(6＋23a－3－a)[12－(6＋23a)]2＝4(3－13a)3，399(6)3,2()194(3)532aaQaaa≤≤≤taoti.tl100.com你的首选资源互助社区诚信经营超值服务——天利会员：诚信精品——与您共建淘题精品世界第6页共6页即当3≤a≤92时，当每件售价为9元，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)＝9(6－a)万元；当92＜a≤5时，当每件售价为(6＋32a)元，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)＝4(3－13a)3万元.