指对幂函数知识点总结

1指对幂函数图象与性质知识梳理一、指数函数（1）根式的概念①如果,,,1nxaaRxRn，且nN，那么x叫做a的n次方根．当n是奇数时，a的n次方根用符号na表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号na表示；0的n次方根是0；负数a没有n次方根．②式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，0a．③根式的性质：()nnaa；当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时，(0)||(0)nnaaaaaa．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mnmnaaamnN且1)n．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：11()()(0,,,mmmnnnaamnNaa且1)n．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsrsaaaarsR②()(0,,)rsrsaaarsR③()(0,0,)rrrabababrR（4）指数函数函数名称指数函数定义函数(0xyaa且1)a叫做指数函数图象1a01a定义域R01xayxy(0,1)O1y01xayxy(0,1)O1y2值域(0,)过定点图象过定点(0,1)，即当0x时，1y．奇偶性非奇非偶单调性在R上是增函数在R上是减函数函数值的变化情况1(0)1(0)1(0)xxxaxaxax1(0)1(0)1(0)xxxaxaxaxa变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低．二、对数函数（1）对数的定义①若(0,1)xaNaa且，则x叫做以a为底N的对数，记作logaxN，其中a叫做底数，N叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log(0,1,0)xaxNaNaaN．（2）几个重要的对数恒等式log10a，log1aa，logbaab．（3）常用对数与自然对数常用对数：lgN，即10logN；自然对数：lnN，即logeN（其中2.71828e…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0aaMN，那么①加法：logloglog()aaaMNMN②减法：logloglogaaaMMNN③数乘：loglog()naanMMnR④logaNaN⑤loglog(0,)bnaanMMbnRb⑥换底公式：loglog(0,1)logbabNNbba且（5）对数函数函数名称对数函数定义函数log(0ayxa且1)a叫做对数函数图象1a01a3定义域(0,)值域R过定点图象过定点(1,0)，即当1x时，0y．奇偶性非奇非偶单调性在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数函数值的变化情况log0(1)log0(1)log0(01)aaaxxxxxxlog0(1)log0(1)log0(01)aaaxxxxxxa变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高．(6)反函数的概念设函数()yfx的定义域为A，值域为C，从式子()yfx中解出x，得式子()xy．如果对于y在C中的任何一个值，通过式子()xy，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()xy表示x是y的函数，函数()xy叫做函数()yfx的反函数，记作1()xfy，习惯上改写成1()yfx．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()yfx中反解出1()xfy；③将1()xfy改写成1()yfx，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数()yfx与反函数1()yfx的图象关于直线yx对称．②函数()yfx的定义域、值域分别是其反函数1()yfx的值域、定义域．③若(,)Pab在原函数()yfx的图象上，则'(,)Pba在反函数1()yfx的图象上．④一般地，函数()yfx要有反函数则它必须为单调函数．01xyO(1,0)1xlogayx01xyO(1,0)1xlogayx4xyO11①②③⑤④三、幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数yx叫做幂函数，其中x为自变量，是常数．（2）幂函数的图象①、②、③、④、⑤对应的的范围分别为、、、、；（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)上为增函数．如果0，则幂函数的图象在(0,)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴．④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当qp（其中,pq互质，p和qZ），若p为奇数q为奇数时，则qpyx是奇函数，若p为奇数q为偶数时，则qpyx是偶函数，若p为偶数q为奇数时，则qpyx是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)yxx，当1时，若01x，其图象在直线yx下方，若1x，其图象在直线yx上方，当1时，若01x，其图象在直线yx上方，若1x，其图象在直线yx下方．5指数函数和对数函数、幂函数练习（1）1、若函数xaaay)33(2是指数函数，则有（）A、21aa或B、1aC、2aD、10aa且2、下列所给出的函数中，是幂函数的是（）A．3xyB．3xyC．32xyD．13xy3、1．指数式bc=a（b0，b≠1）所对应的对数式是（）A．logca=bB．logcb=aC．logab=cD．logba=c4、若210,5100ba，则ba2=（）A、0B、1C、2D、35、若0xy，那么等式yxyyx2432成立的条件是（）A、0,0yxB、0,0yxC、0,0yxD、0,0yx6、函数y=)12(log21x的定义域为（）A．（21，+∞）B．［1，+∞)C．（21，1]D．（－∞，1）7、若函数y=log2(kx2+4kx+3)的定义域为R，则k的取值范围是（）A．43,0B．43,0C．43,0D．,43]0,(8、函数34xy的图象是（）A．B．C．D．第9题9、图中曲线是对数函数y=logax的图象，已知a取4313,,,3510四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的a值依次为（）A．101,53,34,3B．53,101,34,3C．101,53,3,34D．53,101,3,3410、函数y=lg（x12－1）的图象关于（）A．x轴对称B．y轴对称C．原点对称D．直线y=x对称11、若关于x的方程335aax有负根，则实数a的取值范围是_____________.12、当0x时，函数xay)8(2的值恒大于1，则实数a的取值范围是______.13、函数1241xxy的值域是.14、设1052ba,则ba11。615、函数11xay)10(aa且的图象必经过定点．16、若43aa)1,0(aa，则a的取值范围是.17、函数f（x）=|lgx|，则f（41），f（31），f（2）的大小关系是18、已知uaaxx，其中a0,Rx，试用u将下列各式分别表示出来：（1）22xxaa；（2）2323xxaa.19、求log2．56．25+lg1001+lne+3log122的值．20、若0442yx,5424yxz，求z的取值范围.21、已知函数3234xxy的值域为[7，43]，试确定x的取值范围.7指数函数和对数函数、幂函数练习（2）1、下列函数一定是指数函数的是（）Ａ、12xyB、3xyC、xy3D、xy232、已知ab0，下面四个等式中，正确命题的个数为（）①lg（ab）=lga+lgb②lgba=lga－lgb③babalg)lg(212④lg（ab）=10log1abA．0B．1C．2D．33、已知x=2+1，则log4（x3－x－6）等于（）A．23B．45C．0D．214、已知m0时10x=lg（10m）+lgm1，则x的值为（）A．2B．1C．0D．－15、函数|1|||lnxeyx的图象大致是（）ABCD6、若logab·log3a=5，则b等于（）A．a3B．a5C．35D．537、5、已知031log31logba，则a、b的关系是（）A．1＜b＜aB．1＜a＜bC．0＜a＜b＜1D．0＜b＜a＜18、若函数)1,0(1aamayx的图象在第一、三、四象限内，则（）A、1aB、1a且0mC、010ma且D、10a9、函数xy1)21(的单调递增区间是（）A、),(B、),0(C、),1(D、)1,0(10、如图1—9所示，幂函数xy在第一象限的图象，比较1,,,,,04321的大小（）A．102431B．104321C．134210D．14231011、下列函数中既是偶函数又是(,)0上是增函数的是（）A．yx43B．yx32C．yx2D．yx1412、函数Rxxxy|,|，满足（）A．奇函数是减函数B．偶函数又是增函数C．奇函数又是增函数D．偶函数又是减函数1342813、若01x，则下列不等式中成立的是（）A、xxx5.055B、xxx55.05C、xxx5.055D、xxx555.014、下列命题中正确的是（）A．当0时函数xy的图象是一条直线B．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点C．若幂函数xy是奇函数，则xy是定义域上的增函数D．幂函数的图象不可能出现在第四象限15、若2x，则|3|442xxx的值是__________.16、满足等式lg（x－1）+lg（x－2）=lg2的x集合为_____________。17、若yxx25552,则y的最小值为________.18、loga321，则a的取值范围是．19、f（x）=)12(log12xa在（－21，0）上恒有f（x）0，则a的取值范围___20、已知1,2222xxx，求22xx的值21、已知函数2222(log)3log3xxy[1,2]x的值域答案：（一）1-5CBDBC6-10CBACC11、a-312、a3或者a-313、1,14、115、1,2a16、a117、11()()(2)43fff18、2u2(1)uu19、13220、3,2121、2,3x答案：（二）1-5CBBCD6-10CDBAC11-14CCBD15、-116、{3}17、1818、1aa2或者0319、（-1，2）∪（1，2）20、-221、2,3原函数的值域为