高考试题中函数与导数综合题的求解策略

1高考试题中函数与导数综合题的求解策略函数在数学中具有举足轻重的地位，它不仅是高中数学的核心和主线内容，也是学生进一步学习高等数学的基础，而导数“下嫁”到高中数学后，为研究函数提供了简捷有效的方法，因此函数与导数的综合题就成了高考的热点、重点、难点！主要题型：⑴求含参函数的单调区间，⑵函数在某一区间是减函数（或增函数）求参数范围⑶切点、切线，极值点等，求函数解析式⑷证明与计算一些几何问题（面积定值，恒过一定点等等）⑸比较大小或证明不等式或解不等式⑹方程的根的个数（零点），求参数范围⑺恒成立问题⑻极值或最值例1：已知函数32()1,fxxaxxaR（P11）①讨论函数的()fx的单调区间②设函数()fx在区间21(,)33是减函数，求a的取值范围（2a）③若()([0,1])fxxx恒成立，求a的取值范围。23(,)3aa递增，2233(,)33aaaa递减，23(,)3aa递增2例2：设函数1()(,)fxaxabzxb，曲线()yfx在点(2,(2))f处的切线方程为3y①求()fx的解析式（11yxx）②证明函数()yfx的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心③证明：曲线()yfx上任一点的切线与直线1x和直线yx所围三角形的面积为定值例3：已知3x是函数2()ln(1)10fxaxxx的一个极值点①求a的值②求函数()yfx的单调区间③若直线yb与函数()yfx的图象有三个交点，求b的取值范围3例4：已知二次函数()fx满足：①当1x时有极值，②图象与Y轴交点的纵坐标为-3，且在该点处的切线与直线24xy垂直①求(1)f②求函数()(ln),[1,2]gxfxxx的值域③若曲线(ln),(1,)yfxx上任意一点处的切线的斜率恒大于22aa，求a的取值范围例5：（2009湖北卷文）已知关于x的函数f(x)＝331x＋bx2＋cx＋bc,其导函数为f+(x).令g(x)＝∣f+(x)∣,记函数g(x)在区间[-1、1]上的最大值为M.(Ⅰ)如果函数f(x)在x＝1处有极值-34，试确定b、c的值：（Ⅱ）若∣b∣1,证明对任意的c,都有M2:(Ⅲ)若M≧K对任意的b、c恒成立，试求k的最大值。4例6：（2009陕西卷文）已知函数3()31,0fxxaxa求()fx的单调区间；若()fx在1x处取得极值，直线y=my与()yfx的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。例7：（2009宁夏海南卷理）已知函数32()(3)xfxxxaxbe①如3ab，求()fx的单调区间；②若()fx在(,),(2,)单调增加，在(,2),(,)单调减少，证明＜6.521世纪教育网解析：（1）'22()333(),fxxaxa当0a时，对xR，有'()0,fx当0a时，()fx的单调增区间为(,)当0a时，由'()0fx解得xa或xa；由'()0fx解得axa，当0a时，()fx的单调增区间为(,),(,)aa；()fx的单调减区间为(,)aa。（2）因为()fx在1x处取得极大值，所以'2(1)3(1)30,1.faa所以3'2()31,()33,fxxxfxx由'()0fx解得121,1xx。由（1）中()fx的单调性可知，()fx在1x处取得极大值(1)1f，在1x处取得极小值(1)3f。因为直线ym与函数()yfx的图象有三个不同的交点，又(3)193f，(3)171f，结合()fx的单调性可知，m的取值范围是(3,1)。（21）解：（Ⅰ）当3ab时，32()(333)xfxxxxe，故322'()(333)(363)xxfxxxxexxe3(9)xexx(3)(3)xxxxe6当3x或03'()0;xfx时，当303'()0.xxfx或时，从而()(,3),(0,3)303fx在单调增加，在（，），（，）单调减少.(Ⅱ)3223'()(3)(36)[(6)].xxxfxxxaxbexxaeexaxba由条件得：3'(2)0,22(6)0,4,fababa即故从而3'()[(6)42].xfxexaxa因为'()'()0,ff所以3(6)42(2)()()xaxaxxx2(2)(()).xxx将右边展开，与左边比较系数得，2,2.a故2()4124.a又(2)(2)0,2()40.即由此可得6.a21世纪教育网于是6.例题7：设()2()qgxpxfxx，其中()lnfxx，且()2(pgeqeee为自然数的底数）1：求p与q的关系2：若()gx在其定义域内为单调函数，求p的取值范围3：试证明：()1(0)fxxx并用它来证明下面两个结论：①1*1ln1()nnnNn②*22ln11(1)()2nnNnn7（I）解：2'()2fxxbxc，由()fx在1x处有极值43可得'(1)12014(1)33fbcfbcbc解得1,1bc或13bc若1,1bc，则22'()21(1)0fxxxx，此时()fx没有极值；若1,3bc，则2'()23(1)(1)fxxxxx当x变化时，()fx，'()fx的变化情况如下表：x(,3)3(3,1)1(1,)'()fx0+0()fx极小值12极大值43当1x时，()fx有极大值43，故1b，3c即为所求。（Ⅱ）证法1：22()|'()||()|gxfxxbbc当||1b时，函数'()yfx的对称轴xb位于区间[1.1]之外。'()fx在[1,1]上的最值在两端点处取得故M应是(1)g和(1)g中较大的一个2(1)(1)|12||12||4|4,Mggbcbcb即2M证法2（反证法）：因为||1b，所以函数'()yfx的对称轴xb位于区间[1,1]之外，'()fx在[1,1]上的最值在两端点处取得。故M应是(1)g和(1)g中较大的一个假设2M，则(1)|12|2(1)|12|2gbcgbc21世纪教育网8将上述两式相加得：4|12||12|4||4bcbcb，导致矛盾，2M（Ⅲ）解法1：22()|'()||()|gxfxxbbc（1）当||1b时，由（Ⅱ）可知2M；（2）当||1b时，函数'(yfx）的对称轴xb位于区间[1,1]内，此时max(1),(1),()Mgggb由'(1)'(1)4,ffb有2'()'(1)(1)0fbfb①若10,b则'(1)'(1)'(),(1)max(1),()fffbgggb，于是21111max|'(1),|'()|(|'(1)|'()|)|'(1)'()|(1)2222Mffbffbffbb②若01b，则'(1)'(1)'(),fffb(1)max(1),()gggb于是21111max|'(1)|,|'()|(|'(1)||'()|)|'(1)'()|(1)2222Mffbffbffbb综上，对任意的b、c都有12M而当10,2bc时，21()2gxx在区间[1,1]上的最大值12M故Mk对任意的b、c恒成立的k的最大值为12。解法2：22()|'()||()|gxfxxbbc（1）当||1b时，由（Ⅱ）可知2M；（2）当||1b时，函数'()yfx的对称轴xb位于区间[1,1]内，此时max(1),(1),()Mgggb24(1)(1)2()|12||12|2||Mggghbcbcbc22|12(12)2()||22|2bcbcbcb，即12M16.（2009天津卷文）（本小题满分12分）设函数0),(,)1(31)(223mRxxmxxxf其中9（Ⅰ）当时，1m曲线））（，在点（11)(fxfy处的切线斜率（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；（Ⅲ）已知函数)(xf有三个互不相同的零点0，21,xx，且21xx。若对任意的],[21xxx，)1()(fxf恒成立，求m的取值范围。【答案】（1）1（2）)(xf在)1,(m和),1(m内减函数，在)1,1(mm内增函数。函数)(xf在mx1处取得极大值)1(mf，且)1(mf=313223mm函数)(xf在mx1处取得极小值)1(mf，且)1(mf=313223mm【解析】解：当1)1(,2)(,31)(1'2/23fxxxfxxxfm故时，所以曲线））（，在点（11)(fxfy处的切线斜率为1.21世纪教育网（2）解：12)(22'mxxxf，令0)('xf，得到mxmx1,1因为mmm11,0所以当x变化时，)(),('xfxf的变化情况如下表：x)1,(mm1)1,1(mmm1),1(m)('xf+0-0+)(xf极小值极大值)(xf在)1,(m和),1(m内减函数，在)1,1(mm内增函数。函数)(xf在mx1处取得极大值)1(mf，且)1(mf=313223mm函数)(xf在mx1处取得极小值)1(mf，且)1(mf=313223mm（3）解：由题设，))((31)131()(2122xxxxxmxxxxf所以方程13122mxx=0由两个相异的实根21,xx，故321xx，且0)1(3412m，解得21)(21mm，舍因为123,32,221221xxxxxx故所以10若0)1)(1(31)1(,12121xxfxx则，而0)(1xf，不合题意若,121xx则对任意的],[21xxx有,0,021xxxx则0))((31)(21xxxxxxf又0)(1xf，所以函数)(xf在],[21xxx的最小值为0，于是对任意的],[21xxx，)1()(fxf恒成立的充要条件是031)1(2mf,解得3333m21世纪教育网综上，m的取值范围是)33,21(【考点定位】本小题主要考查导数的几何意义，导数的运算，以及函数与方程的根的关系解不等式等基础知识，考查综合分析问题和解决问题的能力。