高中理科数学解题方法篇(二次函数的的取值)

学思达教育2013年Page一of11二次函数专题讲解暨二次不等式解法探究引言：历年数学高考考题中都或多或少的出现了二次函数题，所考查的内容涉及许多重要的数学思想及方法，如分类讨论、数形结合、函数方程思想；配方法、换元法、赋值法等。要求学生掌握二次函数的概念，掌握其图象、性质及图象与性质的关系，能灵活地运用“三个二次”的相关知识解题。充分体现了学生对函数内容的把握程度，是数学高考中一个永恒的话题，真可谓“考你千遍也不厌倦”。形如)0(2acbxaxy，的函数叫做关于x的一元二次函数，其定义域为R，图象是一条抛物线，对称轴方程abx2，顶点坐标)44,2(2abacab。学习时应重点掌握下列内容：⑴合理选择二次函数的解析式。*三种常用表达式：①)0(2acbxaxy，（定义式）；②)0(,)(2akhxay（顶点式）；③)0(),)((21axxxxay（两根式）。【例题1】已知)(xf是二次函数，且满足xxfxff2)()1(,1)0(，则)(xf。〖解答〗.1)(,11022.22)1()1(,2)()1(,1,1)0(,)(2222xxxfbabaaxbaaxbxaxxbxaxxfxfcfcbxaxxf设【例题2】设二次函数的图象的顶点是)23,2(，与x轴的两个交点之间的距离为6，求这个二次函数的解析式。〖解答〗.653261.61,664)(||.2344,23)2(2212212122xxyaaxxxxxxaaxaxyxay得由即设二次函数【例题3】设二次函数)0()(2acbxaxxf，方程0)(xxf的两个根满足axx1021，当),(21xxx时，证明：.)(21xxfx〖解答〗.)(),(,0)1)(()().(0)(,01,0,0,10),1)(())(()(),)(()(21212211212121121121xxfxxfxaxaxxxxxfxfxxxfaxaxxxaxxxaxaxxxxxxxxxaxxfxxxxaxxf综上即同理即由已知设学思达教育2013年Page二of11⑵熟练掌握二次函数的图象和性质。二次函数y=ax2+bx+c,(a0)y=ax2+bx+c,(a0)定义域x∈R值域（最值）abacyy442abacyy442图象抛物线（略），精确度要求不高时作二次函数图象先考虑二次项系数a的符号，确定图象的延伸方向；然后考虑对称轴方程，确定图象的左右位置；再考虑顶点坐标，确定图象的上下位置；最后考虑与轴的交点，确定图象的开口大小。顶点abacab4422，对称轴abx2开口方向开口向上开口向下奇偶性b=0时，是偶函数；b≠0，是非奇非偶函数。单调性递增区间,2ab递减区间ab2,递减区间,2ab递增区间ab2,【例题1】函数)),0[(,2xcbxxy是单调函数的充要条件是（）A．b≥0B．b≤0C．b0D．b0〖分析〗二次函数的单调性受二次项系数（决定左增右减还是左减右增）和对称轴方程（决定单调性分界位置）共同制约。因函数)),0[(,2xcbxxy的图象开口方向向上，对称轴方程为2bx，则区间),0[应是),2[b的子区间，0,02bb，故选A。【例题2】已知函数cbxaxy2，如果abc，且a+b+c=0，则它的图象可能是（）〖分析〗.0,0,0,cacbacba即图象开口向上，与y轴交点在原点下方，故应选D。学思达教育2013年Page三of11【例题3】集合A={42|2xxyy}，B={axaxyy42|2}，AB，求实数a的取值集合。〖解答〗].1,0[,.10,344160,,0.,,0}.3|{,33)1(42222aaaaaBAaRBayyAxxxy综上必有要使时当适合时当⑶深刻理解二次函数在区间上的最值问题。〖探究〗最值问题常与函数求值域问题相联系，则我们先求函数142xxy分别在区间]3,3[),,3[),,(上所对应的值域，由配方法化成顶点式khxay2)(，确定图象开口方向及对称轴方程，再结合图象、性质（单调性）作答，如能取到最值，应分别在区间端点或顶点处取得，特别对含参数的二次函数，要讨论区间与对称轴的变化情况。〖解答〗]5,20[],20,(],5,().(20)3();(5)2(,]3,3[)(,0],3,3[2).(20)3(,),3[)(,0),,3[2,,).(5)2(,0,,.2),(01,5)2(minmaxmaxmax2值域分别为区间端点处顶点处有内在函数区间端点处有内单调递减在函数置则还要考虑对称轴的位在某一区间内时当顶点处有决定值域情况只有时当对称轴为开口向下fyfyxfafyxfaxfyaaRxxaxy【注意】二次函数0,2acbxaxy在区间上的最值问题应主要考查函数对称轴与区间的位置关系，若abx2在区间内则该点处必取一个最值，如有另一个最值应在离对称轴最远的区间端点处取得；若abx2在区间外，如有最值应取在区间端点处，最值是最大值还是最小值要结合图象的开口方向及单调性判断。高中阶段我们主要研究：①二次函数在闭区间［m，n］上的最值；②二次函数在区间定（动），对称轴动（定）时的最值。【思考】（以a0为例）对于二次函数0,2acbxaxy，设,],,[2121xxxxx令.)(,)(,)(,22211000yxfyxfyxfabx结合函数图象则相应值域（最值）为：].,[,];,[,2];,[,2];,[,2];,[,12201020212,102102021012110yyyxxyyyxxxxyyyxxxyyyxxxxyyyxx时当时当时当时当时当观察值域中最大值、最小值的变化情况易得：求闭区间上二次函数的最值应先看二次项系数，含参数时要讨论，再把对称轴abx2与区间端点及区间中点进行比较分类，如当0a时，求最小值分3种情学思达教育2013年Page四of11况，即在区间端点处讨论；求最大值分2种情况，即在区间中点处讨论。当0a时规律相反。【例题1】求函数322xxy在区间],0[a上的最值，并求此时的x的值。〖解答〗函数图象的对称轴为直线x=1，抛物线开口向上。.32,2,1,],1[,]1,0[,2;3,0,2,1,],1[,]1,0[,21;32,,3,0,],0[,12maxminmaxmin2minmaxaayaxyxaayxyxaaaayaxyxaa时当时当上单调递增在上单调递减函数在时当时当时当上单调递增在上单调递减函数在时当时当时当上单调递减函数在时当【例题2】已知函数2142aaxxy在区间[0，1]上的最大值是2，求实数a的值。〖解答〗.3106,310,2)1(,]1,0[,2,12/;,20,32,2)2(,20,120;6,2)0(,]1,0[,0,02,2,42)2(maxmaxmax22或综上上单调递增函数在即时当故舍去矛盾与或得有即时当得有上单调递减函数在即时当对称轴为aafyaaaaafyaaafyaaaxaaaxy【例题3】求函数)(axxy在区间],1[a上的最大值。〖解答〗.4,0,2;0)(,01,2.,4)2()(,12,12maxmax22ayaaaafyaaaaaxaxxyaa时即当时即当图象开口向下由已知⑷透彻领悟“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的内在联系Δ=b2-4acΔ0Δ=0Δ0函数y=ax2+bx+c,(a0)的图象方程ax2+bx+c=0的根abx22,1abx22,1无实根不等式ax2+bx+c0的解集xx1或xx2x≠x1,2R不等式ax2+bx+c0的解集x1xx2ΦΦ*两条规律：①二次函数0,)(2acbxaxxf的图象与轴的交点的横坐标21,xx即二次方程学思达教育2013年Page五of1102cbxax的根，且对称轴方程为221xxx；②不等式02cbxax（或,,）的解集为0,)(2acbxaxxf图象上方（或下方）的点的横坐标的集合。【注意】当0a时要转化、化归成0a时的情况求解。【例题】已知关于x的不等式02cbxax的解集是}212|{xxx或，求不等式02cbxax的解集。〖解答〗}.25.0|{.5.02,0)()(0}.25.0|{,0252,0250,,25)21(2212,0.21,2,02222222xxxcxbxacbxaxxxxxaxaaxcbxaxacabacabacbxaxycbxax则是同解方程与方法二、由同解原理即写作且则有对应方程两根分别为的图象开口向下明函数的解集在两根之外，表方法一、*一种应用：不等式恒成立的条件，令Rcbacbxaxy,,,2。,)0(00)0(00)0(0)(cbaaRxxf或恒成立对任意,)0(00)0(00)0(0)(cbaaRxxf或恒成立对任意;)]([)(minmxfmxf恒成立.)]([)(maxmxfmxf恒成立【例题1】若关于x的不等式0322axax对一切实数x都成立，求实数a的取值范围。〖解答〗).3,0[,30,012400,,,32,0.,,03,022aaaaayRxaxaxyaRxa综上得只需的值恒大于对令若满足题意此时原式化为若【例题2】已知函数)0(abaxy对任意]1,1[x，0)(xf恒成立，求ba,满足的条件。〖解答〗由已知只需.000)1(0)1(22babaabff【例题3】设22)(2axxxf，当),1[x时axf)(恒成立，求实数a的取值范围。学思达教育2013年Page六of11〖解答〗.)(),,1[,13,.11,12,2)()(),,1[,222)()(,1.13.3,2,)()(),,1[,23)1()(,12min222min2minmin恒成立时当综上故即恒成立时当故即恒成立时当axfxaaaaaaxfaxfxaaaafxfaxaaaaxfaxfxafxfa*二次不等式解法探究：一、一元二次不等式解法有（1）图象法（穿线法、标根法）；（2）三个二次关系法——①先化标准型；②验证判别式，求方程的根；③结合图象写集合；（3）化一元一次不等式组法（符号法则）。【例题】1.不等式(x+2)(1-x)0的解集是（）A．{x|x-2或x1}B．{x|-2x1}C．{x|x-1或x2}D．{x|-1x2}2.已知集合}032|{},4|{22xxxNxxM，则集合NM=（）A．{x|x2}