高考调研数学2-5

课时作业(八)1．下列大小关系正确的是()A．0.4330.4log40.3B．0.43log40.330.4C．log40.30.4330.4D．log40.330.40.43答案C解析∵log40.30,00.431,30.41，∴选C.2．(2012·厦门一模)log2sinπ12＋log2cosπ12的值为()A．－4B．4C．－2D．2答案C解析log2sinπ12＋log2cosπ12＝log2(sinπ12cosπ12)＝log212sinπ6＝log214＝－2，故选C.3．设f(x)＝lg(21－x＋a)是奇函数，则使f(x)0的x的取值范围是()A．(－1,0)B．(0,1)C．(－∞，0)D．(－∞，0)∪(1，＋∞)答案A解析∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0.解之，得a＝－1.∴f(x)＝lg1＋x1－x.令f(x)0，则01＋x1－x1，∴x∈(－1,0)．4．设logbN＜logaN＜0，N＞1，且a＋b＝1，则必有()A．1＜a＜bB．a＜b＜1C．1＜b＜aD．b＜a＜1答案B解析0＞logaN＞logbN⇒logNb＞logNa，∴a＜b＜15．0＜a＜1，不等式1logax＞1的解是()A．x＞aB．a＜x＜1C．x＞1D．0＜x＜a答案B解析易得0＜logax＜1，∴a＜x＜16．下列四个数中最大的是()A．(ln2)2B．ln(ln2)C．ln2D．ln2答案D解析0ln21,0(ln2)2ln21，ln(ln2)0，ln2＝12ln2ln2.7．已知f(x)＝loga[(3－a)x－a]是其定义域上的增函数，那么a的取值范围是()A．(0,1)B．(1,3)C．(0,1)∪(1,3)D．(3，＋∞)答案B解析记u＝(3－a)x－a，当1a3时，y＝logau在(0，＋∞)上为增函数，u＝(3－a)x－a在其定义域内为增函数，∴此时f(x)在其定义域内为增函数，符合要求．当a3时，y＝logau在其定义域内为增函数，而u＝(3－a)x－a在其定义域内为减函数，∴此时f(x)在其定义域内为减函数，不符合要求．当0a1时，同理可知f(x)在其定义域内是减函数，不符合题意．8．函数y＝f(x)的图像如下图所示，则函数y＝log12f(x)的图像大致是()答案C解析由y＝f(x)的图像可知，y＝f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，根据复合函数的单调性法则可知，y＝log12f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，故选C.9．(2012·衡水调研卷)已知函数f(x)＝(13)x－log2x，若实数x0是方程f(x)＝0的解，且0x1x0，则f(x1)()A．恒为负值B．等于0C．恒为正值D．不大于0答案C解析因为f(x)＝(13)x－log2x在其定义域(0，＋∞)上单调递减，而f(x0)＝0，所以f(x1)f(x0)＝0.10．若xlog32＝1，则4x＋4－x＝________.答案829解析由已知得x＝1log32＝log23，所以4x＋4－x＝22x＋2－2x＝22log23＋2－2log23＝9＋19＝829.11．若loga(a2＋1)＜loga2a＜0，则实数a的取值范围是__________．解析∵a2＋1＞1,loga(a2＋1)＜0，∴0＜a＜1.又loga2a＜0，∴2a＞1，∴a＞12.∴实数a的取值范围是(12，1)．12．若正整数m满足10m－1＜2512＜10m，则m＝_________.(lg2≈0.3010)答案155解析由10m－1＜2512＜10m得m－1＜512lg2＜m，∴m－1＜154.12＜m，∴m＝155.13．作为对数运算法则：lg(a＋b)＝lga＋lgb(a0，b0)是不正确的．但对一些特殊值是成立的，例如：lg(2＋2)＝lg2＋lg2.那么，对于所有使lg(a＋b)＝lga＋lgb(a0，b0)成立的a，b应满足函数a＝f(b)表达式为________．答案a＝bb－1解析lg(a＋b)＝lga＋lgb，∴a＋b＝ab，∴a(b－1)＝b，∴a＝bb－1(b1)．14．已知函数f(x)＝－x＋log21－x1＋x.(1)求f(－12007)＋f(－12008)＋f(12007)＋f(12008)的值．(2)若x∈[－a，a](其中a∈(0,1))，试判断函数f(x)是否存在最大值或最小值？答案(1)0(2)有最小值f(a)＝－a＋log21－a1＋a，有最大值为f(－a)＝a＋log21＋a1－a解析(1)由1－x1＋x0得函数的定义域是(－1,1)，又f(－x)＋f(x)＝log21＋x1－x＋log21－x1＋x＝log21＝0，∴f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)是奇函数，∴f(－12007)＋f(12007)＝0，f(－12008)＋f(12008)＝0，∴f(－12007)＋f(－12008)＋f(12007)＋f(12008)＝0.(2)f(x)＝－x＋log2(1－x)－log2(1＋x)，∴f′(x)＝－1＋－11－xln2－11＋xln20，有最小值f(a)＝－a＋log21－a1＋a，有最大值为f(－a)＝a＋log21＋a1－a.评析本题可以运用单调函数的定义域来证明函数单调递减，但相对来说，在许多情况下应用导数证明函数的单调性比运用定义证明函数的单调性，运算量小得多．15．设f(x)＝log121－axx－1为奇函数，a为常数．(1)求a的值；(2)证明f(x)在区间(1，＋∞)内单调递增；(3)若对于区间[3,4]上的每一个x的值，不等式f(x)(12)x＋m恒成立，求实数m的取值范围．解析(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即log121＋ax－1－x＝－log121－axx－1，即log121＋ax－x－1＝log12x－11－ax，∴1＋ax－x－1＝x－11－ax，化简整理得(a2－1)x2＝0，∴a2－1＝0，a＝±1，经检验a＝－1，f(x)是奇函数，∴a＝－1.(2)证明由(1)得f(x)＝log12x＋1x－1，设1x1x2，则x1＋1x1－1－x2＋1x2－1＝2x2－x1x1－1x2－10，∴x1＋1x1－1x2＋1x2－10，从而log12x1＋1x1－1log12x2＋1x2－1，即f(x1)f(x2)，∴f(x)在(1，＋∞)内单调递增．(3)原不等式可化为f(x)－(12)xm，令φ(x)＝f(x)－(12)x，则φ(x)m对于区间[3,4]上的每一个x都成立等价于φ(x)在[3,4]上的最小值大于m.∵φ(x)在[3,4]上为增函数，∴当x＝3时，φ(x)取得最小值，log123＋13－1－(12)3＝－98，∴m－98.1．若loga(π－3)logb(π－3)0，a、b是不等于1的正数，则下列不等式中正确的是()A．ba1B．ab1C．ab1D．ba1答案A解析∵0π－31，loga(π－3)logb(π－3)0，∴a，b∈(1，＋∞)，且ba，∴选A.2．当0x1时，下列不等式成立的是()A．(12)x＋1(12)1－xB．log(1＋x)(1－x)1C．01－x21D．log(1－x)(1＋x)0答案C解析法一：考察答案A：∵0x1，∴x＋11－x，∴(12)x＋1(12)1－x，故A不正确；考察答案B：∵0x1，∴1＋x1,01－x1，∴log(1＋x)(1－x)0，故B不正确；考察答案C：∵0x1，∴0x21，∴01－x21，故C正确；考察答案D：∵01－x1,1＋x1.∴log(1－x)(1＋x)0，故D不正确．法二：(特值法)取x＝12，验证立得答案C.3．f(x)＝ax，g(x)＝logax(a0，且a≠1)，若f(3)·g(3)0，则y＝f(x)与y＝g(x)在同一坐标内的图像可能是下图中的()答案D解析由于指数函数与对数函数互为反函数，所以，f(x)与g(x)同增或同减，排除A、C.由于f(3)·g(3)0，即当x＝3时，f(x)、g(x)的图像位于x轴的两侧，排除B，选D.4．若0a1，在区间(0,1)上函数f(x)＝loga(x＋1)是()A．增函数且f(x)0B．增函数且f(x)0C．减函数且f(x)0D．减函数且f(x)0答案D解析∵0a1时，y＝logau又u＝x＋，∴f(x)为减函数；又0x1时，x＋11，又0a1，∴f(x)0.选D.5．已知函数y＝log2(x2－ax－a)的值域为R，则实数a的取值范围是________．错解分析令f(x)＝x2－ax－a，则y＝log2f(x)，f(x)0恒成立，所以，应有Δ＝a2＋4a0，解之得－4a0，即a的取值范围为(－4,0)．上述解法错误的原因在于没有准确地理解函数y＝log2(x2－ax－a)的值域为R的意义．根据对数函数的图像和性质可知，当且仅当f(x)＝x2－ax－a的值能取遍一切正实数时，函数y＝log2(x2－ax－a)的值域才是R，而当Δ0时，由图可知，f(x)0恒成立，这只能说明函数y＝log2(x2－ax－a)的定义域为R，而不能保证f(x)可以取遍一切正数，要使f(x)能够取遍一切正数，结合二次函数的图像可知，f(x)的图像应与x轴有交点才能满足．答案(－∞，－4]∪[0，＋∞)解析要使f(x)＝x2－ax－a的值能取遍一切正实数，应有Δ＝a2＋4a≥0，解之得a≥0或a≤－4，即a的取值范围为(－∞，4]∪[0，＋∞)．6．已知函数f(x)＝loga(2－ax)，是否存在实数a，使函数f(x)在[0,1]上是关于x的减函数，若存在，求a的取值范围．思路a0且a≠1，问题等价于在[0,1]上恒有{a－ax0.答案(1,2)解析∵a0，且a≠1，∴u＝2－ax在[0,1]上是关于x的减函数．又f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上是关于x的减函数，∴函数y＝logau是关于u的增函数，且对x∈[0,1]时，u＝2－ax恒为正数．其充要条件是{a－a0，即1a2.∴a的取值范围是(1,2)．1．(2011·山东潍坊质检)设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则log2010x1＋log2010x2＋…＋log2010x2009的值为()A．－log20102009B．－1C．log20102009－1D．1答案B解析由y＝xn＋1，得y′＝(n＋1)xn，则曲线在点(1,1)处切线的斜率k＝y′|x＝1＝n＋1，切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得xn＝nn＋1，∴log2010x1＋log2010x2＋…＋log2010x2009＝log2010(x1·x2·…·x2009)＝log2010(12×23×34×…×20092010)＝log201012010＝－1，故选B.2．(2011·江苏)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．答案(－12，＋∞)解析由题意知，函数f(x)＝log5(2x＋1)的定义域为{x|x－12}，所以该函数的单调增区间为(－12，＋∞)．3．(2012·江苏徐州模拟)已知函数f(x)＝log2(x2－ax＋3a)，对于任意x≥2，当Δx0时，恒有f(x＋Δx)f(x)，则实数a的取值范围是________．答案－4a≤4解析∵当Δx0时，恒有f(x＋Δx)f(x)，则fx＋Δx－fxΔx0，∴当x≥2时，f(x)为增函数．∴二次函数g(x)＝x2－ax＋3a的对称轴a2≤2.∴a≤4.又g(x)0在[2，＋∞)上恒成立，∴g(x)min＝g(2)0，∴a－4.综上，－4a≤4.4．比较下列各组数的大小．(