高考调研数学3-4

课时作业(十六)1．下列值等于1的积分是()A.01xdxB.01(x＋1)dxC.011dxD.0112dx答案C2．m＝01exdx与n＝1e1xdx的大小关系是()A．mnB.mnC．m＝nD．无法确定答案A解析m＝01exdx＝ex|10＝e－1，n＝1e1xdx＝lnx|e1＝1，m≈1.721，∴mn故选A.3．(2012·保定一模)根据∫2π0sinxdx＝0推断，直线x＝0，x＝2π，y＝0和正弦曲线y＝sinx所围成的曲边梯形的面积时，正确结论为()A．面积为0B．曲边梯形在x轴上方的面积大于在x轴下方的面积C．曲边梯形在x轴上方的面积小于在x轴下方的面积D．曲边梯形在x轴上方的面积等于在x轴下方的面积答案D解析y＝sinx在[0,2π]上关于(π，0)对称，∫2π0sinxdx＝0πsinxdx＋∫2ππsinxdx＝0.4．(2011·湖南理)由直线x＝－π3，x＝π3，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为()A.12B．1C.32D.3答案D解析结合函数图像可得所求的面积是定积分－π3π3cosxdx＝sinxπ3－π3＝3.5．已知f(x)为偶函数且06f(x)dx＝8，则-66f(x)dx等于()A．0B．4C．8D．16答案D解析原式＝-66f(x)dx＋06f(x)dx，∵原函数为偶函数，∴在y轴两侧的图像对称．∴对应的面积相等.8×2＝16，故选D.6．(2012·南昌一模)设集合P＝{x|0x(3t2－10t＋6)dt＝0，x0}，则集合P的非空子集个数是()A．2B．3C．7D．8答案B解析依题意得0x(3t2－10t＋6)dt＝(t3－5t2＋6t)x0＝x3－5x2＋6x＝0，由此解得x＝0或x＝2或x＝3.又x0，因此集合P＝{2,3}，集合P的非空子集的个数是22－1＝3，选B.7．(2012·深圳调研)曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝π2所围成的平面区域的面积为()答案D解析当x∈[0，π2]时，y＝sinx与y＝cosx的图像的交点坐标为(π4，22)，作图可知曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝π2所围成的平面区域的面积可分为两部分：一部分是曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝π4所围成的平面区域的面积；另一部分是曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝π4，x＝π2所围成的平面区域的面积．且这两部分的面积相等，结合定积分定义可知选D.8．(2012·衡水调研)函数f(x)＝x2＋2x＋m(x，m∈R)的最小值为－1，则12f(x)dx等于()A．2B.163C．6D．7答案B解析f(x)＝(x＋1)2＋m－1，∵f(x)的最小值为－1，∴m－1＝－1，即m＝0，∴f(x)＝x2＋2x.12f(x)dx＝12(x2＋2x)dx＝(13x3＋x2)21＝13×23＋22－13－1＝163.9．0π2(sinx＋acosx)dx＝2，则实数a等于________．答案1解析0π2(sinx＋acosx)dx＝(－cosx＋asinx)π20＝(－cosπ2＋asinπ2)－(－cos0＋asin0)＝a＋cos0＝a＋1＝2，∴a＝1.10．f(x)＝3＋2x－x2，则13f(x)dx为________．答案π解析由y＝3＋2x－x2＝4－x－12，(x－1)2＋y2＝4，(y≥0)∴133＋2x－x2dx是圆面积的14，∴等于14·π·22＝π.11．设f(x)＝x2，x∈[0，1]，2－x，x∈[1，2]，则02f(x)dx＝______.答案56解析02f(x)dx＝01x2dx＋12(2－x)dx＝13x3|10＋(2x－12x2)|21＝13＋4－2－2＋12＝56.12．已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图像如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图像所围区域(图中阴影部分)的面积为112，则a的值为________．答案－1解析f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，∵f′(0)＝0，∴b＝0，∴f(x)＝－x3＋ax2，令f(x)＝0，得x＝0或x＝a(a0)．S阴影＝－a0(－x3＋ax2)dx＝112a4＝112，∴a＝－1.13．求由抛物线y2＝x－1与其在点(2,1)，(2，－1)处的切线所围成的面积．答案23解析y＝±x－1.y′x＝±12(x－1)－12.∵过点(2,1)的直线斜率为y′|x＝2＝12(2－1)－12＝12，直线方程为y－1＝12(x－2)，即y＝12x.同理，过点(2，－1)的直线方程为y＝－12x，抛物线顶点在(1,0)．如图所示，由抛物线y2＝x－1与2条切线y＝12x，y＝－12x围成的面积为：S＝S△AOB－212x－1dx＝12·2·2－2·23·(x－1)32|21＝2－43(1－0)＝23.14．如图，已知曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝－x2＋2ax(a1)交于点O，A，直线x＝t(0t≤1)与曲线C1，C2分别相交于点D，B，连结OD，DA，AB，OB.(1)写出曲边四边形ABOD(阴影部分)的面积S与t的函数关系式S＝f(t)；(2)求函数S＝f(t)在区间(0,1]上的最大值．答案(1)S＝f(t)＝16t3－at2＋a2t(0t≤1)(2)22－23a3解析(1)由y＝x2y＝－x2＋2ax，解得x＝0y＝0或x＝ay＝a2.∴O(0,0)，A(a，a2)．又由已知得B(t，－t2＋2at)，D(t，t2)，∴S＝0t(－x2＋2ax)dx－12t×t2＋12(－t2＋2at－t2)×(a－t)＝(－13x3＋ax2)|t0－12t3＋(－t2＋at)×(a－t)＝－13t3＋at2－12t3＋t3－2at2＋a2t＝16t3－at2＋a2t.∴S＝f(t)＝16t3－at2＋a2t(0t≤1)．(2)f′(t)＝12t2－2at＋a2，令f′(t)＝0，即12t2－2at＋a2＝0.解得t＝(2－2)a或t＝(2＋2)a.∵0t≤1，a1，∴t＝(2＋2)a应舍去．若(2－2)a≥1，即a≥12－2＝2＋22时，∵0t≤1，∴f′(t)≥0.∴f(t)在区间(0,1]上单调递增，S的最大值是f(1)＝a2－a＋16.若(2－2)a1，即1a2＋22时，当0t(2－2)a时f′(t)0.当(2－2)at≤1时，f′(t)0.∴f(t)在区间(0，(2－2)a]上单调递增，在区间((2－2)a,1]上单调递减．∴f(t)的最大值是f((2－2)a)＝16[(2－2)a]3－a[(2－2)a]2＋a2(2－2)a＝22－23a3.1．函数f(x)＝x＋1，－1≤x0cosx，0≤x≤π2的图像与x轴所围成的封闭图形的面积为________．答案32解析根据定积分的几何意义结合图形可得所求的封闭图形的面积为S＝12×1×1＋0π2cosxdx＝12＋sinxπ20＝12＋sinπ2－sin0＝32.2．已知函数f(a)＝0asinxdx，则f[f(π2)]等于________．答案1－cos1解析f(π2)＝0π2sinxdx＝－cosxπ20＝1.f[f(π2)]＝f(1)＝01sinxdx＝－cosx|10＝1－cos1.3．设函数f(x)＝ax2＋b(a≠0)，若02f(x)dx＝2f(x0)，x00，则x0＝________.答案233解析02f(x)dx＝02(ax2＋b)dx＝(13ax3＋bx)|20＝83a＋2b＝2(ax20＋b)，∴83a＝2ax20.又x00∴x0＝233.4．已知函数f(x)＝sin5x＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求－π2π2f(x)dx的值，结果是________．答案π解析－π2π2f(x)dx＝－π2π2sin5xdx＋－π2π2dx＝π.5.如图，圆O：x2＋y2＝π2内的正弦曲线y＝sinx与x轴围成的区域记为M(图中阴影部分)，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是()A.4π2B.4π3C.2π2D.2π3答案B解析依题意得，区域M的面积等于20πsinxdx＝－2cosxπ0＝4，圆O的面积等于π×π2＝π3，因此点A落在区域M内的概率是4π3，选B.