高考调研数学6-3

课时作业(三十一)1．(2010·重庆)在等比数列{an}中，a2010＝8a2007，则公比q的值为()A．2B．3C．4D．8答案A解析依题意得a2010a2007＝q3＝8，q＝2，选A.2．在公比为正数的等比数列中，a1＋a2＝2，a3＋a4＝8，则S8等于()A．21B．42C．135D．170答案D解析方法一S8＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋(a5＋a6)＋(a7＋a8)＝2＋8＋32＋128＝170.方法二q2＝a3＋a4a1＋a2＝4，又q0，∴q＝2，a1(1＋q)＝a1(1＋2)＝2，∴a1＝23，S8＝23·28－12－1＝170.3．在等比数列{an}中，Sn表示前n项和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q等于()A．3B．－3C．－1D．1答案A解析思路一：列方程求出首项和公比，过程略；思路二：两等式相减得a4－a3＝2a3，从而求得a4a3＝3＝q.4．在14与78之间插入n个数组成等比数列，若各项总和为778，则此数列的项数()A．4B．5C．6D．7答案B解析∵q≠1(14≠78)，∴Sn＝a1－anq1－q，∴778＝14－78q1－q，解得q＝－12，78＝14×(－12)n＋2－1，∴n＝3，故该数列共5项．5．数列{an}的前n项和为Sn＝4n＋b(b是常数，n∈N*)，若这个数列是等比数列，则b等于()A．－1B．0C．1D．4答案A解析等比数列{an}中，q≠1时，Sn＝a1·qn－1q－1＝a1q－1·qn－a1q－1＝A·qn－A，∴b＝－1.6．一正数等比数列前11项的几何平均数为32，从这11项中抽去一项后所余下的10项的几何平均数为32，那么抽去的这一项是()A．第6项B．第7项C．第9项D．第11项答案A解析由于数列的前11项的几何平均数为32，所以该数列的前11项之积为3211＝255，当抽去一项后所剩下的10项之积为3210＝250，∴抽去的一项为255÷250＝25，又因a1·a11＝a2·a10＝a3·a9＝a4·a8＝a5·a7＝a26，所以a1·a2·…·a11＝a116，故有a116＝255，即a6＝25，∴抽出的应是第6项．7．设a1＝2，数列{1＋2an}是公比为2的等比数列，则a6＝()A．31.5B．160C．79.5D．159.5答案C解析因为1＋2an＝(1＋2a1)·2n－1，则an＝5·2n－1－12，an＝5·2n－2－12，a6＝5×24－12＝5×16－12＝80－12＝79.5.8．等比数列{an}满足：a1＋a6＝11，a3·a4＝329，且公比q∈(0,1)，则数列{an}的通项公式为________．答案an＝13·12n－6分析可以设等比数列的公比为q，将已知条件转化为公比和首项的方程组，通过解方程求解；也可利用等比数列的性质，a3·a4＝a1·a6，将已知条件转化为关于a1、a6的方程组，通过解方程组分别求出a1、a6之后，再求公比．解析由等比数列的性质，可得a3·a4＝a1·a6＝329，又∵a1＋a6＝11，∴a1，a6是方程x2－11x＋329＝0的两根，解之，得x＝13或x＝323，又∵0q1，∴a1＝323，a6＝13，故q5＝a6a1＝132，解得q＝12.从而an＝a6·qn－6＝13·(12)n－6.9．已知等比数列{an}的公比为正数，且a2·a2n＋2＝2a2n＋1，a2＝2，则a1＝________.答案2解析∵a2·a2n＋2＝a2n＋2＝2a2n＋1，∴an＋2an＋1＝2，∴q＝2，∵a2＝2，∴a1＝a2q＝2.10．已知数列{an}，如果a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首项为1，公比为13的等比数列，那么an＝________.答案32(1－13n)解析a1＝1，a2－a1＝13，a3－a2＝(13)2，…，an－an－1＝(13)n－1，累加得an＝1＋13＋132＋…＋(13)n－1＝32(1－13n)．11．等比数列{an}中，前n项和为Sn，若S3＝7，S6＝63，则公比q＝________.答案2解析S6－S3S3＝q3即q3＝8，∴q＝2.12．(2012·江南十校联考)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则Sn＝a1＋a2＋…＋an(n∈N*)的取值范围是________．答案4≤Sn8解析因为{an}是等比数列，所以可设an＝a1qn－1.因为a2＝2，a5＝14，所以a1q＝2，a1q4＝14，解得a1＝4，q＝12.所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝4[1－12n]1－12＝8－8×(12)n.因为0(12)n≤12，所以4≤Sn8.13．在等比数列{an}中，S3＝139，S6＝3649，求an.答案an＝3n－3解析由已知，S6≠2S3，则q≠1.又S3＝139，S6＝3649，即a11－q31－q＝139①a11－q61－q＝3649②②÷①，得1＋q3＝28，∴q＝3.可求得a1＝19.因此an＝a1qn－1＝3n－3.14．(2011·大纲全国文)设等比数列{an}的前n项和为Sn.已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求an和Sn.答案当a1＝3，q＝2时，an＝3×2n－1，Sn＝3×(2n－1)当a1＝2，q＝3时，an＝2×3n－1，Sn＝3n－1解析设{an}的公比为q，由题设得a1q＝6，6a1＋a1q2＝30.解得a1＝3，q＝2，或a1＝2，q＝3.当a1＝3，q＝2时，an＝3×2n－1，Sn＝3×(2n－1)；当a1＝2，q＝3时，an＝2×3n－1，Sn＝3n－1.15．(2011·江西理)已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1＝a(a0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3.(1)若a＝1，求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}唯一，求a的值．答案(1)an＝(2＋2)n－1或an＝(2－2)n－1(2)a＝13解析(1)设数列{an}的公比为q，则b1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2，由b1，b2，b3成等比数列得(2＋q)2＝2(3＋q2)．即q2－4q＋2＝0，解得q1＝2＋2，q2＝2－2.所以数列{an}的通项公式为an＝(2＋2)n－1或an＝(2－2)n－1.(2)设数列{an}的公比为q，则由(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)，得aq2－4aq＋3a－1＝0(*)，由a0得Δ＝4a2＋4a0，故方程(*)有两个不同的实根．由数列{an}唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得a＝13.1．等比数列{an}中，公比q＝2，S4＝1，则S8的值为()A．15B．17C．19D．21答案B2．(2011·东北三校一模)如果等比数列{an}中，a3·a4·a5·a6·a7＝42，那么a5等于()A．2B.2C．±2D．±2答案B解析依题意得a55＝252，a5＝2，选B.3．设项数为8的等比数列的中间两项与2x2＋7x＋4＝0的两根相等，则数列的各项相乘的积为________．答案16解析设此数列为{an}，由题设a4a5＝2，从而a1a2…a8＝(a4a5)4＝16.4．(2011·福建理)已知等比数列{an}的公比q＝3，前3项和S3＝133.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A0,0φπ)在x＝π6处取得最大值，且最大值为a3，求函数f(x)的解析式．解析(1)由q＝3，S3＝133得a11－331－3＝133，解得a1＝13.所以an＝13×3n－1＝3n－2.(2)由(1)可知an＝3n－2，所以a3＝3.因为函数f(x)的最大值为3，所以A＝3；因为当x＝π6时f(x)取得最大值，所以sin(2×π6＋φ)＝1.又0φπ，故φ＝π6.所以函数f(x)的解析式为f(x)＝3sin(2x＋π6)．5．已知{an}是等比数列，Sn是其前n项和，a1，a7，a4成等差数列，求证：2S3，S6，S12－S6成等比数列．证明由已知得2a1q6＝a1＋a1q3即2q6－q3－1＝0得q3＝1或q3＝－12，当q3＝1时即q＝1{an}为常数列，S62S3＝S12－S6S6命题成立．当q3＝－12时S62S3＝1－q621－q3＝14，S12－S6S6＝1－q121－q6－1＝14.∴命题成立．1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若8a2＋a5＝0，则下列式子中数值不能确定的是()A.a5a3B.S5S3C.an＋1anD.Sn＋1Sn答案D解析数列{an}为等比数列，由8a2＋a5＝0，知8a2＋a2q3＝0，因为a2≠0，所以q＝－2，a5a3＝q2＝4；S5S3＝1－q51－q3＝113；an＋1an＝q＝－2；Sn＋1Sn＝1－qn＋11－qn，其值与n有关，故选D.2．(2011·上海)设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai＋1的矩形面积(i＝1,2，…)，则{An}为等比数列的充要条件是()A．{an}是等比数列B．a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…a2n，…是等比数列C．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…a2n，…均是等比数列D．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…a2n，…均是等比数列，且公比相同答案D3．数列{an}为等比数列，已知an＞0，且an＝an＋1＋an＋2，则该数列的公比q是__________．答案5－12解析由已知可得an＝an·q＋an·q2，∵an0，∴q2＋q－1＝0，q＝－1±52.∵q0，∴q＝5－12.4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.解设公比为q，S6＝S3＋q3S3＝4S3，∴q3＝3，∴a4＝a1·q3＝3.5．(2009·山东)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b0且b≠1，b，r均为常数)的图像上，求r的值．解析由题意，Sn＝bn＋r，当n≥2时，Sn－1＝bn－1＋r，所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)，由于b0且b≠1，所以当n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列．又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，a2a1＝b，即bb－1b＋r＝b，解得r＝－1.6．等比数列{an}的公比为q，其前n项的积为Tn，并且满足条件a11，a99a100－10，a99－1a100－10.给出下列结论：①0q1；②a99·a101－10；③T100的值是Tn中最大的；④使Tn1成立的最大自然数n等于198.其中正确的结论是()A．①②④B．②④C．①②D．①②③④答案A解析①中，a99－1a100－10a99·a1001a11⇒a9910a1001⇒q＝a100a99∈(0,1)，∴①正确．②中，a99a101＝a21000a1001⇒a99·a1011，∴②正确．③中，T100＝T99·a1000a1001⇒T100T99，∴③错误．④中，T198＝a1a2…a198＝(a1·a198)…(a2·a197)…(a99·a100)＝(a99·a100)991，T199＝a1a2…a198·a199＝(a1a199)…(a99·a101)·a100＝a1991001，∴④正确．7．已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*有an＋Sn＝n.(1)设bn＝an－1，求证：数列{bn}是等比数列；(2)设c1＝a1且cn＝an－an－1(n≥2)，求{cn}的通项公式．解析(1)由a1＋S1＝1及a1＝S1得a1＝12.又由an＋Sn＝n及an＋1＋Sn＋1＝n＋1得an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1.∴2(an＋1－1)＝