高考调研数学7-2

课时作业(三十三)1．若0＜m＜1，则不等式(x－m)(x－1m)＜0的解集为()A．{x|1m＜x＜m}B．{x|x＞1m或x＜m}C．{x|x＞m或x＜1m}D．{x|m＜x＜1m}答案D解析当0m1时，m1m.2．若集合M＝{y|y＝x2，x∈Z}，N＝{x∈R|3x－1x－9≤1}，则M∩N的真子集的个数是()A．15B．7C．16D．8答案B解析由N＝{x|－4≤x9}，M∩N＝{4,1,0}，真子集个数23－1＝7.3．函数y＝log12x2－1的定义域是()A．[－2，－1)∪(1，2]B．[－2，－1]∪(1，2)C．[－2，－1)∪(1,2]D．(－2，－1)∪(1,2)答案A解析由x2－10x2－1≤1，得[－2，－1)∪(1，2]．4．已知集合M＝{x|x2－2008x－20090}，N＝{x|x2＋ax＋b≤0}，若M∪N＝R，M∩N＝(2009,2010]，则()A．a＝2009，b＝－2010B．a＝－2009，b＝2010C．a＝2009，b＝2010D．a＝－2009，b＝－2010答案D解析化简得M＝{x|x－1或x2009}，由M∪N＝R，M∩N＝(2009,2010]可知N＝{x|－1≤x≤2010}，即－1,2010是方程x2＋ax＋b＝0的两个根．所以b＝－1×2010＝－2010，－a＝－1＋2010，即a＝－2009.5．(2011·济南统考)已知f(x)是定义在R上的奇函数，若f(x)的最小正周期为3，且f(1)0，f(2)＝2m－3m＋1，则m的取值范围是()A．m32B．m32且m≠1C．－1m32D．m32或m－1答案C解析由题意得f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－f(1)0，即2m－3m＋10，∴－1m32，故选C.6.已知函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，函数y＝f′(x)的图像如右图所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，则不等式f(x2－6)1的解集为()A．(2,3)∪(－3，－2)B．(－2，2)C．(2,3)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)答案A解析由导数图像知当x0时，f′(x)0，即f(x)在(－∞，0)上为增函数；当x0时，f′(x)0，即f(x)在(0，＋∞)上为减函数，故不等式f(x2－6)1等价于f(x2－6)f(－2)或f(x2－6)f(3)，即x2－60，x2－6－2或0≤x2－63，解得x∈(2,3)∪(－3，－2)．7．设函数f(x)＝2x＋1，x≥1，x2－2x－2，x1，若f(x0)1，则x0的取值范围为()A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．(－∞，－1)∪[1，＋∞)C．(－∞，－3)∪(1，＋∞)D．(－∞，－3)∪[1，＋∞)答案B解析∵f(x0)1，∴x0≥12x0＋11或x01x20－2x0－21，解得x0∈(－∞，－1)∪[1，＋∞)．8．在R上定义运算：x*y＝x(1－y)．若不等式(x－y)*(x＋y)1对一切实数x恒成立，则实数y的取值范围是()A．(－12，32)B．(－32，12)C．(－1,1)D．(0,2)答案A解析由题意知，(x－y)*(x＋y)＝(x－y)·[1－(x＋y)]1对一切实数x恒成立，∴－x2＋x＋y2－y－10对于x∈R恒成立．解法1：故Δ＝12－4×(－1)×(y2－y－1)0，∴4y2－4y－30，解得－12y32.故选A.解法2：即y2－yx2－x＋1对x∈R恒成立，∴y2－y(x2－x＋1)min＝34.∴y2－y34，解之得－12y32.9．不等式2－xx＋40的解集是________．答案(－4,2)解析考查分式不等式的解法2－xx＋40等价于(x－2)(x＋4)0，所以－4x2.10．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如表：x－3－2－101234y60－4－6－6－406则不等式ax2＋bx＋c0的解集是________．答案(－∞，－2)∪(3，＋∞)解析方程的根是对应不等式解集的端点，画草图即可．11．关于x的不等式x2－(a＋1a＋1)x＋a＋1a0(a0)的解集为________．答案(1，a＋1a)解析不等式可化为[x－(a＋1a)](x－1)0，∵a0，∴a＋1a≥21.∴该不等式的解集为(1，a＋1a)．12．已知关于x的不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，求实数a的取值范围．答案－2≤a65解析当a2－4＝0，即a＝－2或a＝2时，当a＝2时不等式为4x－1≥0，解集不是空集．当a＝－2时，不等式为－1≥0，其解集为空集，故a＝－2符合题意．当a2－4≠0时，需a2－40，Δ＝a＋22＋4a2－40，解得－2a65.综上可知－2≤a65.13．(2010·湖南理)已知函数f(x)＝x2＋bx＋c(b，c∈R)，对任意的x∈R，恒有f′(x)≤f(x)．证明：当x≥0时，f(x)≤(x＋c)2.证明易知f′(x)＝2x＋b.由题设，对任意的x∈R,2x＋b≤x2＋bx＋c，即x2＋(b－2)x＋c－b≥0恒成立，所以(b－2)2－4(c－b)≤0，从而c≥b24＋1.于是c≥1，且c≥2b24×1＝|b|，因此2c－b＝c＋(c－b)＞0.故当x≥0时，有(x＋c)2－f(x)＝(2c－b)x＋c(c－1)≥0.即当x≥0时，f(x)≤(x＋c)2.14．设函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的增函数，是否存在这样的实数a，使得不等式f(1－ax－x2)f(2－a)对于任意x∈[0,1]都成立？若存在，试求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．思路首先利用函数单调性将抽象型函数符号去掉，然后转化为二次不等式恒成立问题，最后转化为二次函数区间最值问题．解析由于f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的增函数，所以不等式f(1－ax－x2)f(2－a)对任意x∈[0,1]都成立⇔不等式1－ax－x22－a对于任意x∈[0,1]都成立．即不等式x2＋ax－a＋10在x∈[0,1]上恒成立．方法一令g(x)＝x2＋ax－a＋1，只需g(x)在[0,1]上的最小值大于0即可．g(x)＝x2＋ax－a＋1＝x＋a22－a24－a＋1.①当－a20，即a0时，g(x)min＝g(0)＝1－a0⇒a1，故0a1；②当0≤－a2≤1，即－2≤a≤0时，g(x)min＝g－a2＝－a24－a＋10⇒－2－22a－2＋22，故－2≤a≤0；③当－a21，即a－2时，g(x)min＝g(1)＝20，满足，故a－2.故存在实数a，使得不等式f(1－ax－x2)f(2－a)对于任意x∈[0,1]都成立，其取值范围是(－∞，1)．方法二由1－ax－x22－a得(1－x)ax2＋1，∵x∈[0,1]，∴1－x≥0，∴①当x＝1时，02恒成立，此时a∈R；②当x∈[0,1)时，ax2＋11－x恒成立．求当x∈[0,1)时，函数y＝x2＋11－x的最小值．令t＝1－x(t∈(0,1])，则y＝x2＋11－x＝1－t2＋1t＝t＋2t－2，而函数y＝t＋2t－2是(0,1]上的减函数，所以当且仅当t＝1，即x＝0时，ymin＝1.故要使不等式在[0,1)上恒成立，只需a1，由①②得a1.故存在实数a，使得不等式f(1－ax－x2)f(2－a)对于任意x∈[0,1]都成立，其取值范围是(－∞，1)．1．(苏北四市调研)若关于x的不等式ax2－|x|＋2a0的解集为Ø，则实数a的取值范围为________．答案[24，＋∞)解析解法1：原命题可等价于不等式ax2－|x|＋2a≥0对于任意的实数x均成立，即a(x2＋2)≥|x|对于任意的实数x均成立，由于x2＋20且|x|≥0，故a0，分别作出f1(x)＝a(x2＋2)和f2(x)＝|x|的图像如图：根据图像的对称性，只需研究x≥0时满足即可，当x≥0，二者相切时，应有f1′(x)＝2ax＝1，此时x＝12a，所以，欲使原命题成立，只需满足f1(12a)≥f2(12a)，即a×14a2＋2a≥12a⇒8a2≥1，解之得a≥24(a≤－24舍去)．解法2：令t＝|x|≥0，原不等式可化为at2－t＋2a0在t≥0不存在，即at2－t＋2a≥0在t≥0恒成立，∴a0Δ≤0或a012a02a≥0解之得a≥24.2．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1,1]时，f(x)0恒成立，则b的取值范围是()A．－1b0B．b2C．b－1或b2D．不能确定答案C解析由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)的对称轴为直线x＝1，则有a2＝1，故a＝2.又f(x)开口向下，所以f(x)在[－1,1]上为增函数．f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，∴b2－b－20，解得b－1或b2.3．关于x的不等式组x2－x－202x2＋2k＋5x＋5k0的整数解的集合为{－2}，求实数k的取值范围．解析解x2－x－20得x2或x－1解2x2＋(2k＋5)x＋5k0(有解集)得(2x＋5)(x＋k)0由原不等式组，整数解为{－2}．得－52x－k，∴－2－k≤3∴－3≤k2.4．设关于x的一元二次方程ax2＋x＋1＝0(a0)有两个实根x1，x2.(1)求(1＋x1)(1＋x2)的值；(2)求证：x1－1且x2－1；(3)如果x1x2∈[110，10]，试求a的最大值．解析(1)(1＋x1)(1＋x2)＝1＋(x1＋x2)＋x1x2＝1－1a＋1a＝1.(2)令f(x)＝ax2＋x＋1，由Δ＝1－4a≥0，得02a≤12，∴抛物线f(x)的对称轴x＝－12a≤－2－1.又f(－1)＝a0，∴f(x)图像与x轴的交点都在点(－1,0)的左侧，故x1－1，且x2－1.(3)由(1)，x1＝11＋x2－1＝－x21＋x2.x1x2＝－11＋x2∈[110，10]，所以－1x2∈[111，1011]．所以a＝1x1x2＝－1＋x2x22＝－[(－1x2)－12]2＋14.故当－1x2＝12时，a取得最大值为14.