奥数专题：分类枚举

1/5分类枚举小芳为了给灾区儿童捐款，把储蓄罐里的钱全拿了出来。她想数数有多少钱。小朋友，你知道小芳是怎么数的吗？小芳是个聪明的孩子，她把钱按1分、2分、5分、1角、2角、5角、1元等分类去数。所以很快就数好了。小芳数钱，用的就是分类枚举的方法。这是一种很重要的数学思考方法，在很多问题的思考过程中都发挥了很大的作用。下面就让我们一起来看看它的本领吧！典型例题例[1]下图中有多少个三角形？分析我们可以根据图形特征将它分成3类：第一类：有6个；第2类：有6个；2/5第3类：有3个；解6+6+3=15（个）图中有15个三角形。例[2]下图中有多少个正方形？分析根据正方形边长的大小，我们将它们分成4类。第1类：由1个小正方形组成的正方形有24个；第2类：由4个小正方形组成的正方形有13个；第3类：由9个小正方形组成的正方形有4个；第4类：由16个小正方形组成的正方形有1个。解24+13+4+1=42。图中有42个正方形。例[3]在算盘上，用两粒珠子可以表示几个不同的三位数：3/5分别是哪几个数？分析根据两粒珠子的位置，我们可将它们分成3类：第1类：两粒珠子都在上档，可以组成505，550；第2类：两粒珠子都在下档，可以组成101，110，200；第3类：一粒在上档，另一粒在下档，可以组成510，501，150，105，600。解可以表示101，105，110，150，200，501，505，510，550，600共10个三位数。例[4]用数字7，8，9可以组成多少个不同的三位数？分别是哪几个数？分析根据百位上数字的不同，我们可以将它们分成三类：第1类：百位上的数字为7，有789，798；第2类：百位上的数字为8，有879，897；第3类：百位上的数字为9，有978，987。解可以组成789，798，879，897，978，987共6个三位数。4/5例[5]往返于南京和上海之间的沪宁高速列车沿途要停靠常州、无锡、苏州三站。问：铁路部门要为这趟车准备多少种车票？分析我们可以根据列车的往与反把它们分成两大类（注：为了方便，我们将上述地点简称为宁、常、锡、苏、沪）：在第一大类中，我们又可以根据乘客乘车时所在起点站的不同分成4类。第1类：从宁出发：宁常，宁锡，宁苏，宁沪，4种；第2类：从常出发：常锡，常苏，常沪，3种；第3类：从锡出发：锡苏，锡沪，2种；第4类：从苏出发：苏沪，1种。我们同样可用刚才的方法将回来的车票分类，聪明的小朋友可能已经想到了，它的种数与第一大类完全相同。解（4+3+2=1）×2=20（种）铁路部门要准备20种车票。小结分类枚举的关键是正确分类，为此，必须注意两点：一、分类要全、枚举要清。分类不全，就会造成遗漏。如上面例15/5中，如果一不小心，把第3类丢了，就会造成差错。当分类确定之后，要把每一类中每一个符合条件的对象都列举出来。二、分类要清。因为如果分不清，使第1类中有第2类，第2类中有第3类，互相包含，那么就会有重复。这样结果也就很难正确了。