九年级二次函数讲义

二次函数一．知识梳理1、定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的方程叫做一元二次方。一元二次方程的标准式：ax2+bx+c=0（a≠0）其中：ax2叫做二次项，bx叫做一次项，c叫做常数项a是二次项系数，b是一次项系数2、一元二次方程根的判别式（二次项系数不为0）：“△”读作德尔塔，在一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中△=b2-4ac△=b2-4ac0====方程有两个不相等的实数根，即：x1,x2△=b2-4ac=0====方程有两个相等的实数根，即：x1=x2△=b2-4ac0====方程没有实数根。注：“====”是双向推导，也就是说上面的规律反过来也成立，如：告诉我们方程没有实数根，我们便可以得出△03、一元二次方程根与系数的关系（二次项系数不为0;△≥0），韦达定理。ax2+bx+c=0（a≠0）中，设两根为x1,x2,那么有：因为：ax2+bx+c=0（a≠0）化二次项系数为1可得，所以：韦达定理也描述为：两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。注意：（1）在一元二次方程应用题中，如果解出来得到的是两个根，那么我们要根据实际情况判断是否应舍去一个跟。5、一元二次方程的求根公式：注：任何一元二次方程都能用求根公式来求根，虽然使用起来较为复杂，但非常有效。一、求二次函数的三种形式：1.一般式：y=ax2+bx+c，（已知三个点）顶点坐标（－2ba，244acba）2.顶点式：y=a（x－h）2+k，（已知顶点坐标对称轴）顶点坐标（h，k）3.交点式：y=a(x-x1)(x-x2)，（有交点的情况）与x轴的两个交点坐标x1，x2对称轴为221xxh二、abc作用分析│a│的大小决定了开口的宽窄，│a│越大，开口越小，│a│越小，开口越大，a，b的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴x=0，即对称轴为y轴，当a，b同号时，对称轴x=－2ba0，即对称轴在y轴左侧，当a，b异号时，对称轴x=－2ba0，即对称轴在y轴右侧，（左同右异y轴为0）c的符号决定了抛物线与y轴交点的位置，c=0时，抛物线经过原点，c0时，与y轴交于正半轴；c0时，与y轴交于负半轴，以上a，b，c的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出．二．专题精练专题一：二次函数与一元二次方程的关系本专题主要涉及根据二次函数的图象求一元二次方程的近似根，由图象判断一元二次方程根的情况，由一元二次方程根的情况判断抛物线与x轴的交点个数等，题型主要填空题、选择题和解答题.考点1.根据二次函数的自变量与函数值的对应值，确定方程根的范围一元二次方程ax2+bx+c=0就是二次函数y=ax2+bx+c当函数y的值为0时的情况.例1根据下列表格中二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0,a,b,c,为常数）的一个解x的范围是（）x6.176.186.196.202yaxbxc0.030.010.020.04抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a0)y=ax2+bx+c(a0)由a,b和c的符号确定由a,b和c的符号确定a0,开口向上a0,开口向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.abacab44,22abacab44,22abx2直线abx2直线abacyabx44,22最小值为时当abacyabx44,22最大值为时当xy0xy0Ａ．66.17xＢ．6.176.18xＣ．6.186.19xＤ．6.196.20x考点2.根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.例2已知二次函数y=-x2+3x+m的部分图象如图1所示，则关于x的一元二次方程-x2+3x+m=0的解为________.考点3.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点时，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴没有交点时，则一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根.反之亦然.例3在平面直角坐标系中，抛物线21yx与x轴的交点的个数是（）A.3B.2C.1D.0专项练习31.抛物线y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是________.2.已知二次函数22yxxm的部分图象如图2所示，则关于x的一元二次方程220xxm的解为．3.已知函数2yaxbxc的图象如图3所示，那么关于x的方程220axbxc的根的情况是（）A.无实数根B.有两个相等实数根C.有两个异号实数根D.有两个同号不等实数根4.二次函数2(0)yaxbxca的图象如图4所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程20axbxc的两个根．yxO13图2yxO324图1图4xy3322114112O图3xy03（2）写出不等式20axbxc的解集．（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．（4）若方程2axbxck有两个不相等的实数根，求k的取值范围．专题二、探究几何图形中的二次函数关系【例11】在梯形ABCD中，ADBC∥，6ABDCAD，60ABC，点EF，分别在线段ADDC，上（点E与点AD，不重合），且120BEF，设AEx，DFy．（1）求y与x的函数表达式；（2）当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？课堂检测1、二次函数342xxy的图像可以由二次函数2xy的图像平移而得到，下列平移正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位;C．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位2、在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝2x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（）A．y＝2(x－2)2+2B．y＝2(x+2)2－2C．y＝2(x－2)2－2D．y＝2(x+ＡＥＤＦＣＢ2)2+23、二次函数21(4)52yx的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（）A．向上、直线x=4、（4，5）B．向上、直线x=-4、（-4，5）C．向上、直线x=4、（4，-5）D．向下、直线x=-4、（-4，5）4、二次函数cbxaxy2的图象如图所示，则下列关系式不正确的是（）A、a＜0B、abc＞0C、cba＞0D、acb42＞05、函数2yaxbyaxbxc和在同一直角坐标系内的图象大致是（）6、二次函数2(0)yaxbxca的图象如图4所示，则下列说法不正确的是（）A．240bacB．0aC．0cD．02ba7、如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A（－3，0），对称轴为x＝－1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b=0；③a－b＋c=0；④5a＜b．其中正确结论是（）．A．②④B．①④C．②③D．①③8、已知关于x的函数同时满足下列三个条件：①函数的图象不经过第二象限；②当2x时，对应的函数值0y；③当2x时，函数值y随x的增大而增大．你认为符合要求的函数的解析式可以是：（写出一个即可）．9、如右图，抛物线nxxy52经过点)0,1(A，与y轴交于点B.（1）求抛物线的解析式；（2）P是y轴正半轴上一点，且△PAB是等腰三角形，试求点P的坐标...Oxy1-1BA《专题五。形积问题》形积专题1.(中考变式）如图，抛物线cbxxy2与x轴交与A(1,0),B(-3，0)两点，顶点为D。交Y轴于C求该抛物线的解析式与△ABC的面积。2.(08湛江)如图所示，已知抛物线21yx与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．求A、B、C三点的坐标．过A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．三．课堂检测1．已知函数y=ax2+bx+c，当x=3时，函数的最大值为4，当x=0时，y=－14，则函数关系式____.2．请写出一个开口向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式.3．函数42xy的图象与y轴的交点坐标是________.4．抛物线y=(x–1)2–7的对称轴是直线..5．二次函数y=2x2-x-3的开口方向_____，对称轴_______，顶点坐标________.6.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的两个交点的坐标是(5，0)，(-2，0)，则方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解是_______.7.用配方法把二次函数y=2x2+2x-5化成y=a(x-h)2+k的形式为___________.8.抛物线y=(m-4)x2-2mx-m-6的顶点在x轴上，则m=______.9.若函数y=a(x-h)2+k的图象经过原点，最小值为8，且形状与抛物线y=-2x2-2x+3相同，则此函数关系式______.快乐作业1．抛物线y=-2(x-1)2-3与y轴的交点纵坐标为（）（A）-3（B）-4（C）-5（Ｄ）-12．将抛物线y=3x2向右平移两个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线是（）(A)y=3(x+2)2+4(B)y=3(x-2)2+4(C)y=3(x-2)2-4(D)y=3(x+2)2-43.抛物线y=21x2，y=-3x2，y=x2的图象开口最大的是（）(A)y=21x2(B)y=-3x2(C)y=x2(D)无法确定4.二次函数y=x2-8x+c的最小值是0，那么c的值等于（）(A)4(B)8(C)-4(D)165已知抛物线2yaxbxc经过（-1，0），（0，-3），（2，-3）三点.⑴求这条抛物线的表达式；⑵写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.6.如图，△OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线。轴交于点与Exmxy33（1）求点E的坐标；