高阶谱讲义第4章

1第4章非高斯有色噪声中的谐波恢复——噪声为非对称分布且信号不含二次相位耦合的情形在实际应用中，有色的非高斯噪声环境情形在声纳系统和信号检测中常常遇到，而具有非对称分布的非高斯分布是一种很常见的情形，如指数分布、威布尔分布等，因此，研究具有非对称分布的非高斯噪声中的谐波恢复方法具有广泛的应用前景。本章首先分析了谐波信号和非高斯有色噪声的三阶累积量特性，由于谐波信号的三阶累积量恒等于零，而具有非对称分布的非高斯ARMA有色噪声的三阶累积量不等于零，因此，利用有噪观测值的三阶累积量可以建立非高斯ARMA噪声的模型参数。由于有噪观测值经噪声模型的AR多项式滤波后得到的滤波输出过程的自相关函数和滤波信号预测模型的AR参数正好满足一组特殊懂得修正Ylue-walker方程，因此，基于自相关的高分辨率方法都可以用来确定模型的参数。基于这一点，给出了STCH-ESPRIT方法。噪声特点：三阶累积量不为零。谐波信号：三阶累积量为零。思路：)()()(nwnxny现有方法建立噪声模型预滤波wwxycccc3333§4.1模型假设设零均值有噪观测值为)()()(nwnxny(4.1)其中，)(nx可以是复数谐波信号)](exp[)(1kkpkknjnx(4.2)也可以是实数谐波信号)cos()(1kkpkknnx(4.3)这里，p为谐波数目，k，k和k分别为第k个谐波分量的幅度、归一化频率随机初始相位，k为独立地服从同一分布的随机变量，且k在),[上服从均匀分布。设附加噪声)(nw为高斯),(dbnnARMA过程，即2)()()()()(01jnejdinwibnwdbnjni(4.4)或)()()()(11neqDnwqB(4.5)其中jnjnjjqjdqDqjbqBdb0101)()(,)()(，q为后移因子即)()(jnwnwqj。对于噪声模型，假设（1）噪声模型的传递函数)(/)()(zBzDzHw(单位冲激响应为)(nhw)是指数稳定的，且不存在着零、极点相消（2）)(ne为零均值、平稳的独立同分布非高斯白噪声，0)]([33neEe，)]([6neE，且)(ne的方差2e和e3均未知（3）)(nx与)(nw相互独立。条件(2)意味着)(nw为零均值且具有非对称分布的非高斯过程。由于谐波信号)(nx为零均值，因此，有噪观测过程)(ny也为零均值。本章的目的就是由有噪观测值)(ny),,2,1(Nn估计谐波信号参数。§4.2基于二阶和三阶累积量混合的ESPRIT方法4.2.1预滤波处理式(4.1)两边同乘以)(1qB并利用式(4.5)，有)()()()()()()()()()(11111neqBnxqBnwqBnxqBnyqB记)()()()()(~01inyibnyqBnybni(4.6))()()()()(~01inxibnxqBnxbni(4.7))()()()()(01ineidneqDnvdni(4.8)则3)()(~)(~nvnxny(4.9)称)(~ny为滤波输出过程，)(~nx为滤波谐波信号。注意到，)(nv为一非高斯)(dnMA噪声过程，其自相关函数为ddnknkdedevnllkdkdnllkdkdlr0022),()(,0)()()((4.10)4.2.2矩阵对的构造设)1(~)(~),(~)(~21ddnmnynynmnyny，并取pm，构造下列)1(m维向量Tmnynynyn)]1(~,),1(~),(~[)(~1111yTdddnmnynmnynmny)]12(~,),1(~),(~[(4.11)Tmnynynyn)]1(~,),1(~),(~[)(~2222yTdddnmnynmnynmny)]2(~,),2(~),1(~[(4.12)Tmnynynyn)]1(~,),1(~),(~[)(~y(4.13)并记Tmnvnvnvn)]1(,),1(),([)(v(4.14)Tmnxnxnxn)]1(~,),1(~),(~[)(~x(4.15)则由式(4.9)可得)()(~)(~nnnvxy(4.16))()(~)(~1ddnmnnmnnvxy(4.17))1()1(~)(~2ddnmnnmnnvxy(4.18)下面考查复数滤波谐波信号向量)(~nx。设谐波信号向量为Tmnxnxnxn)]1(,),1()([)(x(4.19)则)(nx可以表示为4)()(1nnASx(4.20)其中ppmjmjmjjjjeeeeee)1()1()1(2121111A(4.21)Tnjpnjnjppeeen],,,[)()()(2)(112211S(4.22)而向量Tmknxknxknxkn)]1(,),1(),([)(x(4.23)可以表示成)()(1nknkSAΦx(4.24)其中，旋转因子矩阵],,,[21pjjjeeediagΦ，kΦ表示矩阵Φ的k次连乘。由式(4.7)可知Tmnxnxnxn)]1(~,),1(~),(~[)(~xTnininibbbimnxibinxibinxib000)1()(,),1()(),()()()(0inibnnix)()(01nibnniiSAΦ)()(11nibininSΦIA(4.25)类似地，有)()()(~11nibkniniknSΦIAΦx(4.26)若记ininibΦIΦ01)(，则上面两式可简化为)()(~11nnSAΦx(4.27))()(~11nknkSΦAΦx(4.28)5这样，式(4.16)～(4.18)即为)()()(~11nnnvSAΦy(4.29))()()(~111dnmnmnnndvSΦAΦy(4.30))1()()(~1112dnmnmnnndvSΦAΦy(4.31)由于)(~nx与)(nv相互独立且均为零均值，所以)(~ny与)(~1ny的互相关矩阵为)](~)(~[*1~~1nnEyyyyR)]()([)](~)(~**1ddnmnnEnmnnEvvxx[)]()([})]()[({**1111dnmnmnnEnnEdvvSΦAΦSAΦ)]()([)()]()([****1*111dnmnmnnEnnEdvvAΦΦSSAΦ(4.32)考虑到22221*11,,,)]()([pdiagnnESSS(4.33)且)]()([*dnmnnEvv0)()2()1()22()()1()12()1()(mnrnrnrnmrnmrnmrnmrnmrnmrdvdvdvdvdvdvdvdvdv(4.34)上式中利用了)]()([)(*lnvnvElrv和式(4.10)。于是***11~~)(1AΦSΦAΦRdnmyy(4.35)类似地，)(~ny与)(~2ny的互相关矩阵为**1*11*2~~)()](~)(~[2AΦSΦAΦyyRdnmyynnE(4.36)若记**11)(dnmΦSΦΦQ(4.37)6则*~~1AQARyy(4.38)**~~2AAQΦRyy(4.39)而实际上，)()2()1()22()()1()12()1()(*~*~*~*~*~*~*~*~*~~~1mnrnrnrnmrnmrnmrnmrnmrnmrdydydydydydydydydyyyR(4.40))1()3()2()12()1()()2()2()1(*~*~*~*~*~*~*~*~*~~~2mnrnrnrnmrnmrnmrnmrnmrnmrdydydydydydydydydyyyR(4.41)其中，)](~)(~[)(*~lnynyElry。至此，基于滤波输出过程)(~ny的自相关函数矩阵对},{21~~~~yyyyRR已经构造完成。4.2.3STCH-ESPRIT方法1.谐波数目和谐波频率的估计定理4.2设为矩阵对},{21~~~~yyyyRR的广义特征值矩阵，S为非奇异矩阵，则旋转因子矩阵Φ与有如下关系(只须的对角线元素作适当调整)000Φ(4.42)证明：由于bnkkkb11)(ΦIΦ，且],,,[21pjjjeeediagΦ，所以bpbbnkjknkjknkjkekbekbekbdiag0001)(,,)(,)(21Φ。考虑到噪声模型是指数稳7定的，于是不存在着单位圆上的极点，即当pi,,2,1时，binkjkekb00)(，故1Φ是)(pp维非奇异对角阵，又由于S和Φ均为)(pp维非奇异对角阵，所以**11)(ΦSΦΦQdnm也是)(pp维非奇异对角阵，于是*~~1AQARyy的秩为p。考查下列矩阵束**~~~~21)AΦAQ(IRRyyyy(4.43)由于*AQA与**AAQΦ的行空间相同，所以，通常情况下，)(***AAQΦAQA的秩为p。如果ije，则*Φ(I的第i列为零，这样1*perankij)Φ(I(4.44)即矩阵束)(21~~~~yyyyRR的秩为)1(p，由广义特征值的定义可知，ije实际上就是矩阵对},{21~~~~yyyyRR的广义特征值。又由于矩阵对中的两个矩阵描述的是同一个空间，它们的共同零空间对应的广义特征值必为零，因此，矩阵对},{21~~~~yyyyRR的p个广义特征值位于单位圆上，并与旋转因子矩阵Φ的对角线元素相等，而其余)(pm个广义特征值位于原点。2.谐波幅度的估计重新考查矩阵**11)(ΦSΦΦQdnm，由于bpbbnkjknkjknkjkekbekbekbdiag0001)(,,)(,)(21Φ(4.45)22221,,,pdiagS(4.46)bpbbnkjknkjknkjkekbekbekbdiag000*1)(,,)(,)(21Φ(4.47)8],,,[)()()()(*21pddddnmjnmjnmjnmeeediagΦ(4.48)式(4.47)中考虑了)(kb为实数这一事实。所以若令bibiidnkjknkjknmjiekbekbeq00)()()(20)()(biidnkjknmjekbe(4.49)则2222211,,,ppqqqdiagQ(4.50)设ie是矩阵对},{21~~~~yyyyRR对应于广义特征值ijie的广义特征向量，则0e)AΦAQ(Iii**(4.51)由于矩阵束**)AΦAQ(Ii的行空间与由A中列向量}),({ikka)],,,1[)(()1(Tmjjkkkeea描述的子空间相同，因此向量ie与所有向量除外）)()((ikaa都正交，即ikikiiki),(,0)(**aeae(4.52)ikikiiik,)(,0