高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习2-2-3椭圆习题课

2.2.3椭圆习题课一、选择题1．已知椭圆的焦点是F1，F2是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线[答案]A[解析]∵|PF1|＋|PF2|＝2a，|PQ|＝|PF2|，∴|PF1|＋|PF2|＝|PF1|＋|PQ|＝2a，即|F1Q|＝2a，∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a，故动点Q的轨迹是圆．故选A.2．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是()A．(0,1)B．(1,2)C．(0,2)D．(0,1][答案]A[解析]椭圆方程化为x22＋y22k＝1.焦点在y轴上，则2k2，即k1.又k0，∴0k1.3．P是椭圆x2100＋y264＝1上的一点，F1、F2是焦点，若∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积是()A.6433B．64(2＋3)C．64(2－3)D．64[答案]A[解析]在△PF1F2中，设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则由椭圆定义知r1＋r2＝20①由余弦定理知cos60°＝r21＋r22－|F1F2|22r1·r2＝r21＋r22－1222r2·r2＝12，即r21＋r22－r1r2＝144②①2－②得r1r2＝2563.∴S△PF1F2＝12r1·r2sin60°＝6433.4．已知F是椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(ab0)的一个焦点，PQ是过其中心的一条弦，且c＝a2－b2，则△PQF面积的最大值是()A.12abB．abC．acD．bc[答案]D[解析]设它的另一个焦点为F′，则|F′O|＝|FO|，|PO|＝|QO|，FPF′Q为平行四边形．S△PQF＝12SPF′QF＝S△PFF′，则当P为椭圆短轴端点时，P到FF′距离最大，此时S△PFF′最大为bc.即(S△PQF)max＝bc.5．椭圆x212＋y23＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上．如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的()A．7倍B．5倍C．4倍D．3倍[答案]A[解析]不妨设F1(－3,0)，F2(3,0)，由条件知P(3，±32)，即|PF2|＝32，由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝43，|PF1|＝732，|PF2|＝32，即|PF1|＝7|PF2|.6．设0≤α2π，若方程x2sinα－y2cosα＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是()A.0，34π∪7π4，2πB.π2，3π4C.π2，3π4D.3π4，3π2[答案]C[解析]将方程变形为：x21sinα＋y2－1cosα＝1.∴1sinα01－cosα01sinα1－cosα，∴sinα－cosα0.∴α在第二象限且|sinα||cosα|.7．已知椭圆x216＋y29＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上．若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为()A.95B．3C.977D.94[答案]D[解析]a2＝16，b2＝9⇒c2＝7⇒c＝7.∵△PF1F2为直角三角形．∴P是横坐标为±7的椭圆上的点．(点P不可能为直角顶点)设P(±7，|y|)，把x＝±7代入椭圆方程，知716＋y29＝1⇒y2＝8116⇒|y|＝94.8．(2009·江西)过椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为()A.22B.33C.12D.13[答案]B[解析]考查椭圆的性质及三角形中的边角关系运算．把x＝－c代入椭圆方程可得yc＝±b2a，∴|PF1|＝b2a∴|PF2|＝2b2a，故|PF1|＋|PF2|＝3b2a＝2a，即3b2＝2a2又∵a2＝b2＋c2，∴3(a2－c2)＝2a2，∴(ca)2＝13，即e＝33.9．(2009·山东威海)椭圆x24＋y33＝1上有n个不同的点P1、P2、…、Pn，椭圆的右焦点为F，数列{|PnF|}是公差大于11000的等差数列，则n的最大值是()A．2000B．2006C．2007D．2008[答案]A[解析]∵椭圆x24＋y23＝1上距离右焦点F(1,0)最近的点为右端点(2,0)，距离右焦点F(1,0)最远的点为左端点(－2,0)，数列{|PnF|}的公差d大于11000，不妨|P1F|＝1，|PnF|＝3,3＝1＋(n－1)·d，∴d＝2n－111000，n－12000，即n2001.∴故选A.10．已知点(4,2)是直线l被椭圆x236＋y29＝1所截得的线段的中点，则l的方程是()A．x－2y＝0B．x＋2y－4＝0C．2x＋3y－4＝0D．x＋2y－8＝0[答案]D[解析]设截得的线段为AB，A(x1，y1)，B(x2，y2),中点坐标为(x0，y0)，利用“差分法”得y21－y22x21－x22＝－936，即y1－y2x1－x2·y0x0＝－936，∴k＝y1－y2x1－x2＝－12，∴直线l的方程为y－2＝－12(x－4)，即x＋2y－8＝0.二、填空题11．已知椭圆的焦点是F1(0，－1)、F2(0,1)，P是椭圆上一点，并且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则椭圆的方程是________________．[答案]y24＋x23＝1[解析]由题意设椭圆方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)．∵|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，∴2a＝4.∴a＝2，又c＝1，∴b2＝3，∴方程为y24＋x23＝1.12．设F1、F2是椭圆x23＋y24＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|－|PF2|＝1，则cos∠F1PF2＝____________.[答案]35[解析]∵|PF1|＋|PF2|＝4，又|PF1|－|PF2|＝1，∴|PF1|＝52，|PF2|＝32，|F1F2|＝2，∴cos∠F1PF2＝522＋322－222×52×32＝35.13．已知椭圆的短半轴长为1，离心率e满足0e≤32，则长轴的取值范围为________．[答案](2,4][解析]由e2＝c2a2＝a2－b2a2＝1－1a2得01－1a2≤34.从而－1－1a2≤－14，∴14≤1a21，故1a2≤4，∴1a≤2，即22a≤4.14．设F1，F2分别为椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左右两个焦点，若椭圆C上的点A(1，32)到F1，F2两点的距离之和为4，则椭圆C的方程是________，焦点坐标是________．[答案]x24＋y23＝1(±1,0)[解析]由|AF1|＋|AF2|＝2a＝4得a＝2.∴原方程化为：x24＋y2b2＝1，将A(1，32)代入方程得b2＝3.∴椭圆方程为：x24＋y23＝1，焦点坐标为(±1,0)．三、解答题15．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的两个焦点分别为F1、F2，斜率为k的直线l过左焦点F1且与椭圆的交点为A、B，与y轴交点为C，又B为线段CF1的中点，若|k|≤142，求椭圆离心率e的取值范围．[解析]设l：y＝k(x＋c)则C(0，kc)，B(－c2，kc2)．∵B在椭圆上，∴c24a2＋k2c24b2＝1.即c24a2＋k2c24(a2－c2)＝1⇒e2＋ke21－e2＝4.∴k2＝(4－e2)(1－e2)e2≤72⇒2e4－17e2－8≤0⇒12≤e21⇒22≤e1.16．已知椭圆E：x28＋y24＝1.(1)直线l：y＝x＋m与椭圆E有两个公共点，求实数m的取值范围．(2)以椭圆E的焦点F1、F2为焦点，经过直线l′：x＋y＝9上一点P作椭圆C，当C的长轴最短时，求C的方程．[解析](1)直线l与椭圆E有两个公共点的条件是：方程组x28＋y24＝1y＝x＋m有两组不同解，消去y，得3x2＋4mx＋2m2－8＝0.∴Δ＝16m2－12(2m2－8)0，－23m23.∴实数m的取值范围是(－23，23)．(2)依题意，F1(－2,0)、F2(2,0)．作点F1(－2,0)关于l′的对称点F1′(9,11)．设P是l′与椭圆的公共点，则2a＝|PF1|＋|PF2|＝|PF′1|＋|PF2|≥|F′1F2|＝72＋112＝170.∴(2a)min＝170，此时，a2＝1704＝852，b2＝a2－c2＝772.∴长轴最短的椭圆方程是x2852＋y2772＝1.17．如图所示，某隧道设计为双向四车通，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．I若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？[解析]如图所示，建立直角坐标系，则点P(11，4.5)，椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1.将b＝h＝6与点P坐标代入椭圆方程，得a＝4477，此时l＝2a＝8877≈33.3因此隧道的拱宽约为33.3米．18．椭圆中心是坐标原点O，焦点在x轴上，e＝32，过椭圆左焦点F的直线交椭圆于P，Q两点，|PQ|＝209，且OP⊥OQ，求此椭圆的方程．[解析]设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，当PQ⊥x轴时，F(－c,0)，|FP|＝b2a.又∵|FQ|＝|FP|，且OP⊥OQ，∴|OF|＝|FP|，即c＝b2a，∴ac＝a2－c2，e2＋e－1＝0.∴e＝5－12.与题设e＝32不符，所以PQ不垂直于x轴，设PQ所在直线方程为y＝k(x＋c)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，∵e＝32，∴a2＝43c2，b2＝13c2.∴椭圆方程可化为3x2＋12y2－4c2＝0.将PQ所在直线方程代入，得(3＋12k2)x2＋24k2cx＋12k2c2－4c2＝0.由韦达定理，得x1＋x2＝－24k2c3＋12k2，x1x2＝12k2c2－4c23＋12k2.由|PQ|＝209，得1＋k2.(－24k2c3＋12k2)2－4(12k2c2－4c2)3＋12k2＝209.①∵OP⊥OQ，∴y1x1·y2x2＝－1，即x1x2＋y1y2＝0，∴(1＋k2)x1x2＋k2c(x1＋x2)＋c2k2＝0，②联立①②解得c2＝3，k2＝411.∴a2＝4，b2＝1.故椭圆方程为x24＋y2＝1.