高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习2-5直线与圆锥曲线

2.5直线与圆锥曲线一、选择题1．若不论k为何值，直线y＝k(x－2)＋b与曲线x2－y2＝1总有公共点，则b的取值范围是()A．(－3，3)B．[－3，3]C．(－2,2)D．[－2,2][答案]B[解析]由题意可知，直线所过的定点(2，b)应在双曲线上或内部，即y2≤x2－1，∴b2≤3，∴－3≤b≤3.2．过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为π3的弦AB，则|AB|的值为()A.837B.163C.83D.1637[答案]B[解析]抛物线y2＝4x的焦点F为(1,0)，过F且倾斜角为π3的直线方程为y＝3(x－1)，联立得方程组y＝3(x－1)y2＝4x得关于x的一元二次方程3x2－10x＋3＝0.①设交于A(x1，y1)B(x2，y2)两点．则x1x2是①的两根．有x1＋x2＝103.|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝103＋2＝163.故选B.3．已知过抛物线y2＝6x焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是()A.π6或5π6B.π4或3π4C.π3或2π3D.π2[答案]B[解析]由焦点弦长公式|AB|＝2psin2θ得6sin2θ＝12，∴sinθ＝22.∴θ＝π4或34π.故选B.4．(2009·山东烟台4月)已知抛物线y2＝4x上一点P(x0，y0)，若y0∈[1,2]，则|PF|的范围是()A.14，1B.54，2C．[1,2]D．[2,3][答案]B[解析]∵y0∈[1,2]，∴x0∈14，1，由定义|PF|＝1＋x0∈54，2.故选B.5．直线y＝x＋m与椭圆x24＋y2＝1有两个不同的交点，则m的范围是()A．－5m5B．m－5，或m5C．m5D．－5m5[答案]D[解析]将y＝x＋m代入x24＋y2＝1，有5x2＋8mx＋4m2－4＝0，Δ＝64m2－80(m2－1)0，得m25，∴－5m5.6．直线y＝x＋1被椭圆x24＋y22＝1所截得的弦的中点坐标是()A．(23，43)B．(43，73)C．(－23，13)D．(－43，－13)[答案]C[解析]设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．则x214＋y212＝1x224＋y222＝1，两式相减得14(x1－x2)(x1＋x2)＋12(y1－y2)(y1＋y2)＝0y1－y2x1－x2＝－14(x1＋x2)12(y1＋y2)＝k∴－x02y0＝1，又y0＝x0＋1∴x0＝－23，y0＝13.7．以双曲线y2－x23＝1的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是()A．(x－2)2＋y2＝4B．x2＋(y－2)2＝2C．(x－2)2＋y2＝2D．x2＋(y－2)2＝4[答案]D[解析]双曲线焦点在y轴上，离心率e＝2，∴圆心在y轴上，半径R＝2.故选D.8．(2009·浙江)过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右顶点A作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C.若AB→＝12BC→，则双曲线的离心率是()A.2B.3C.5D.10[答案]C[解析]由已知，直线方程为x＋y－a＝0，两渐近线为xa±yb＝0.由x＋y－a＝0bx－ay＝0得xB＝a2a＋b.由x＋y－a＝0bx＋ay＝0得xC＝a2a－b.∵AB→＝12BC→，∴2(xB－xA)＝xC－xB，∴3xB＝2xA＋xC，∴3a2a＋b＝a2a－b＋2a，解得b＝2a，∴c2＝a2＋b2a2＝5，∴e＝5.故选C.9．已知ab0，e1与e2分别为圆锥曲线x2a2＋y2b2＝1和x2a2－y2b2＝1的离心率，则lge1＋lge2的值()A．一定是正值B．一定是零C．一定是负值D．符号不确定[答案]C[解析]∵e1＝a2－b2a，e2＝a2＋b2a，∴e1e2＝a4－b4a2＝1－b2a221.∴lge1＋lge2＝lg(e1·e2)0.故选C.10．若椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为32，则双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率为()A.54B.52C.32D.54[答案]B[解析]椭圆离心率e＝32，即ca＝32⇒a2－b2a2＝34，∴b2a2＝14，则1＋b2a2＝54.∴双曲线的离心率为e′＝52.故选B.二、填空题11．若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线x23－y2＝1的右焦点重合，则p的值等于______．[答案]4[解析]由已知Fp2，0与F2(2,0)重合，∴p2＝2，∴p＝4.12．点M(5,3)到抛物线x2＝ay(a0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是______．[答案]x2＝12y[解析]∵抛物线x2＝ay(a0)的准线方程为y＝－a4，∴a4＋3＝6，∴a＝12，∴抛物线方程为x2＝12y.13．双曲线x2－y2＝9被直线x－2y＋1＝0截得的弦长为________．[答案]4335[解析]x2－y2＝9x－2y＋1＝0，3y2－4y－8＝0y1·y2＝－83，y1＋y2＝43.l＝1＋1k2·(y1＋y2)2－4y1·y2＝5·169＋323＝4335.14．(2008·全国Ⅰ)已知抛物线y＝ax2－1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为________．[答案]2[解析]把抛物线方程改写为x2＝1a(y＋1)得顶点(0，－1)，又原点为焦点，∴1a＝4，∴抛物线x2＝4(y＋1)与x轴交于两点(2,0)，(－2,0)．∴所求面积为12×4×1＝2.三、解答题15．直线l：y＝2x＋1与抛物线y2＝12x交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求线段AB的长．[解析]由y＝2x＋1，y2＝12x，得4x2－8x＋1＝0，由韦达定理，得x1＋x2＝2，x1x2＝14.∴|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝(1＋22)(22－4×14)＝15.16．过椭圆x22＋y2＝1的一个焦点F作直线l交椭圆于A，B两点，椭圆的中心为O，当△AOB的面积最大时，求直线l的方程．[解析]过椭圆焦点F(1,0)的直线l垂直于x轴时，可知此时△AOB的面积等于22.当l不垂直x轴时，可设直线l的方程为y＝k(x－1)．因为|OF|是定值1，所以△AOB的面积可以用12×1×|y1－y2|(其中y1，y2是A，B的纵坐标)来计算．将y＝kx－k代入x22＋y2＝1，消去x，得(1＋2k2)y2＋2ky－k2＝0.由根与系数的关系可得(y1－y2)2＝8k4＋8k2(2k2＋1)2＝2－2(2k2－1)22.可以看出|y1－y2|2，此时△AOB的面积小于22，所以直线l的方程为x＝1或x＝－1.17．(2010·湖北文，20)已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1)求曲线C的方程；(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有FA→·FB→0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．[分析]本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的性质等基础知识，同时考查推理运算的能力．[解析](1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足：(x－1)2＋y2－x＝1(x0)化简得y2＝4x(x0)(2)设过点M(m,0)(m0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．设l的方程为x＝ty＋m，由x＝ty＋my2＝4x得y2－4ty－4m＝0，此时Δ＝16(t2＋m)0.于是y1＋y2＝4ty1·y2＝－4m①又FA→＝(x1－1，y1)，FB→＝(x2－1，y2)FA→·FB→0⇔(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1·x2－(x1＋x2)＋1＋y1y20②又x＝y24，于是不等式②等价于y214·y224＋y1y2－(y214＋y224)＋10⇔(y1y2)26＋y1y2－14[(y1＋y2)2－2y1y2]＋10③由①式，不等式③等价于m2－6m＋14t2④对任意实数t,4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2－6m＋10，即3－22m3＋22由此可知，存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任意一直线，都有FA→·FB→0，且m的取值范围是(3－22，3＋22)．18．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)，(O为原点)(1)求双曲线C的方程．(2)若直线l1：y＝kx＋2与双曲线恒有两个不同的交点A和B，且OA→·OB→2，求k的取值范围．[解析](1)设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．由已知得a＝3，c＝2，再由a2＋b2＝22，得b2＝1.所以双曲线C的方程为x23－y2＝1.(2)将y＝kx＋2代入x23－y2＝1得(1－3k2)x2－62kx－9＝0.由直线l与双曲线交于不同的两点得1－3k2≠0Δ＝(－62k)2＋36(1－3k2)＝36(1－k2)0，即k2≠13且k21.①设A(xA，yA)、B(xB，yB)，则xA＋xB＝62k1－3k2，xAxB＝－91－3k2，由OA→·OB→2得xAxB＋yAyB2，而xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋2)(kxB＋2)＝(k2＋1)xAxB＋2k(xA＋xB)＋2＝(k2＋1)·－91－3k2＋2k·62k1－3k2＋2＝3k2＋73k2－1.于是3k2＋73k2－12，即－3k2＋93k2－10.解此不等式得13k23.②由①②得13k21.故k的取值范围为(－1，－33)∪(33，1)．