高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习3-2-3直线与平面的夹角

3.2.3直线与平面的夹角一、选择题1．已知平面α内的角∠APB＝60°，射线PC与PA、PB所成角均为135°，则PC与平面α所成角的余弦值是()A．－63B.63C.33D．－33[答案]B[解析]由三余弦公式知cos45°＝cosα·cos30°，∴cosα＝63.2．三棱锥P—ABC的底面是以AC为斜边的直角三角形，顶点P在底面的射影恰好是△ABC的外心，PA＝AB＝1，BC＝2，则PB与底面ABC所成角为()A．60°B．30°C．45°D．90°[答案]B[解析]由AB＝1，BC＝2，知AC＝3，∴OA＝32，又∵PA＝1，PQ⊥AC，∴PO＝12，∵OB＝OA＝32，∴tanθ＝33.∴应选B.3．正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成角的正弦值是()A.24B.23C.63D.32[答案]C[解析]由计算得sinθ＝23.故选C.4．在三棱锥P—ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝12PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值为()A.216B.833C.21060D.21030[答案]D[解析]以O为原点，射线OA、OB、OP为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图，设AB＝a，则OP＝72a，OD→＝(－24a,0，144a)，可求得平面PBC的法向量为n＝(－1，－1，17)，∴cos(OD→，n)＝OD→·n|OD→||n|＝21030，设OD→与面PBC的角为θ，则sinθ＝21030，故选D.5．若直线l与平面α所成角为π3，直线a在平面α内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成角的取值范围是()A.0，2π3B.π3，2π3C.π2，2π3D.π3，π2[答案]D6．如果平面的一条斜线段长是它在这个平面上的射影长的3倍，那么斜线段与平面所成角的余弦值为()A.13B.223C.22D.23[答案]A7．如图，正方体AC1中，BC1与对角面BB1D1D所成的角是()A．∠C1BB1B．∠C1BDC．∠C1BD1D．∠C1BO[答案]D[解析]由三垂线定理得，OB为BC1在平面BB1D1D上的射影．故选D.8．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为CC1的中点，则直线A1B与平面BDE所成的角为()A.π6B.π3C.π2D.56π[答案]B[解析]以D为原点建立空间直角坐标系，平面BDE的法向量n＝(1，－1,2)，而BA1→＝(0，－1,1)，∴cosθ＝1＋223＝32，∴θ＝30°.∴直线A1B与平面BDE成60°角．9．正方形纸片ABCD，沿对角线AC折起，使点D在面ABCD外，这时DB与平面ABC所成角一定不等于()A．30°B．45°C．60°D．90°[答案]D[解析]当沿对角线AC折起时，BD在面ABC上的射影始终在原对角线上，若BD⊥面ABC，则此时B、D重合为一点，这是不成立的，故选D.10．已知等腰直角△ABC的一条直角边BC平行于平面α，点A∈α，斜边AB＝2，AB与平面α所成的角为30°，则AC与平面α所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°[答案]B[解析]过B、C作BB′⊥α于B′，CC′⊥α于C′，则BB′＝CC′＝1，∴sinθ＝22，∴θ＝45°.故选B.二、填空题11．正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都相等，则AC1与平面BB1C1C的夹角的余弦值为________．[答案]104[解析]设三棱柱的棱长为1，以B为原点，建立坐标系如图，则C1(0,1,1)，A32，12，0，AC1→＝－32，12，1，又平面BB1C1C的一个法向量n＝(1,0,0)，设AC1与平面BB1C1C的夹角为θ.sinθ＝|cos〈n，AC1→〉|＝|AC1→·n||AC1→||n|＝64，∴cosθ＝1－sin2θ＝104.12．正四棱锥S—ABCD中，O为顶点S在底面内的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是________．[答案]30°13．AB∥α，AA′⊥α，A′是垂足，BB′是α的一条斜线段，B′为斜足，若AA′＝9，BB′＝63，则直线BB′与平面α所成角的大小为________．[答案]60°14．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为AA1、A1D1的中点，则EF与面A1C1所成的角为________．[答案]45°三、解答题15．如图所示，ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝12，求SC与平面ABCD所成的角．[解析]解法1：如图所示，设n是平面α的法向量，AB是平面α的一条斜线，A∈α，则AB与平面α所成的角为π2－arccos|AB→·n||AB→|·n；AS→是平面ABCD的法向量，设CS→与AS→的夹角为φ.∵CS→＝CB→＋BA→＋AS→，∴AS→·CS→＝AS→·(CB→＋BA→＋AS→)＝AS→·AS→＝1.|AS→|＝1，|CS→|＝(CB―→＋BA―→＋AS―→)2＝|CB―→|2＋|BA―→|2＋|AS―→|2＝3，∴cosφ＝AS→·CS→|AS→|·|CS→|＝33.∴φ＝arccos33.从而CS与平面ABCD所成的角为π2－arccos33.解法2：连结AC，显然∠SCA即为SC与平面ABCD所成的角．计算得：AC＝2，∴tan∠SCA＝22，故SC与平面ABCD所成角为arctan22.16．如图，在直三棱柱ABO—A′B′O′中，OO′＝4，OB＝3，∠AOB＝90°.D是线段A′B′的中点，P是侧棱BB′上的一点．若OP⊥BD，试求：(1)OP与底面AOB所成的角的大小；(2)BD与侧面AOO′A′所成的角的大小．[解析]如图，以O为原点建立空间直角坐标系，由题意，有B(3,0,0)，D32，2，4，设P(3,0，z)，则BD→＝－32，2，4，OP→＝(3,0，z)．∵BD⊥OP，∴BD→·OP→＝－92＋4z＝0，z＝98.∴P3，0，98.(1)∵BB′⊥平面AOB，∴∠POB是OP与底面AOB所成的角．∵tan∠POB＝983＝38，∴∠POB＝arctan38.故OP与底面AOB所成角的大小是arctan38.(2)∵OB→＝(3,0,0)，且OB→⊥平面AOO′A′，∴平面AOO′A′的法向量为OB→＝(3,0,0)．又DB→＝(3,0,0)－32，2，4＝32，－2，－4，∴OB→·DB{＝3×32＋(－2)×0＋(－4)×0＝92.又|OB→|＝3，|DB→|＝322＋(－2)2＋(－4)2＝892，∴cos〈OB→，DB→〉＝OB→·DB→|OB→|·|DB→|＝923×892＝389.∴BD与侧面AOO′A′所成的角的大小为π2－〈OB→，DB→〉＝π2－arccos389(或写成arcsin389)．17．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是CC1的中点，求BE与平面B1BD所成角的正弦值．[解析]如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则B(2,2,0)，B1(2,2,2)，E(0,2,1)，BD→＝(－2，－2,0)，BB1→＝(0,0,2)，BE→＝(－2,0,1)．设平面B1BD的法向量为n＝(x，y，z)，∵n⊥BD，n⊥BB1∴n·BD→＝－2x－2y＝0n·BB1→＝2z＝0，∴x＝－yz＝0，令y＝1时，则n＝(－1,1,0)，cosn，BE→＝n·BE→|n||BE→|＝105.即BE与平面B1BD所成的角的正弦值为105.18．(2009·北京)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC.(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的大小；[解析]考查线面垂直，直线与平面所成角，以及二面角等内容，可以用直接法实现，也可用向量法．解法一：(1)∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.∴BC⊥平面PAC.(2)∵D为PB的中点，DE∥BC，∴DE＝12BC.又由(1)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA＝AB，∴△ABP为等腰直角三角形，∴AD＝12AB.在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，∴BC＝12AB.∴在Rt△ADE中，sin∠DAE＝DEAD＝BC2AD＝24.∴AD与平面PAC所成的角的大小为arcsin24.解法二：(1)如图，以A为原点建立空间直角坐标系A－xyz.设PA＝a，由已知可得A(0,0,0)，B－12a，32a，0，C0，32a，0，P(0,0，a)．(1)∵AP→＝(0,0，a)，BC→＝12a，0，0，∴BC→·AP→＝0，∴BC⊥AP.又∵∠BCA＝90°，∴BC⊥AC.∴BC⊥平面PAC.(2)∵D为PB的中点，DE∥BC，∴E为PC的中点．∴D－14a，34a，12a，E0，34a，12a.又由(1)知，BC⊥平面PAC.∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角．∵AD→＝－14a，34a，12a，AE→＝0，34a，12a，∴cos∠DAE＝AD→·AE→|AD→||AE→|＝144.∴AD与平面PAC所成的角的大小为arccos144.