高二数学典型例题二

欢迎登录100测评网进行学习检测，有效提高学习成绩.典型例题一例1在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？分析与解：分析个位数字，可分以下几类．个位是9，则十位可以是1，2，3…，8中的一个，故有8个；个位是8，则十位可以是1，2，3…，7中的一个，故有7个；与上同样：个位是7的有6个；个位是6的有5个；……个位是2的只有1个．由分类计数原理知，满足条件的两位数有36828187654321（个）．说明：本题是用分类计数原理解答的，结合本题可加深对“做一件事，完成之可以有n类办法”的理解，所谓“做一件事，完成它可以有n类办法”，这里是指对完成这件事情的所有办法的一个分类．分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意满足一个基本要求：完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类计数原理．典型例题七例7(1)若a、b是正整数且6ba，则以),(ba为坐标的点共有多少个？(2)若x、y是整数，且6x，7y，则以),(yx为坐标的不同的点共有多少个？分析：两小题所处理的具体事情都可视为找满足条件的点的坐标，问题是点的坐标有多少个．(1)因为a、b互相制约，可以把点的坐标按a的取值进行分类，比如1a，b可以取5,4,3,2,1共五个值，2a，b可以取4,3,2,1共四个值，以此类推，然后再用分类计数原理解题．(2)因为x、y的取值相互独立，可以把找点的坐标的过程分成找横坐标和纵坐标分别进行，然后用分步计数原理解题．解：(1)按a的取值分类：1a时，b有5个值，2a时，b有4个值，3a时，b有3个值，4a时，b有2个值，5a时，b有1个值．用分类计数原理，所有满足条件的点的坐标共有：1512345(个)．(2)先确定x的取值，共有13个值，再确定y的取值，共有15个值，用分步计数原理，所有满足条件的点的坐标共有：1951513(个)．说明：本例中找点的坐标，也可换成确定一个两位数，如：个位、十位数字之和小于b欢迎登录100测评网进行学习检测，有效提高学习成绩.的二位数是多少个？按个位的取值进行分类：个位取0，十位可取5个数，个位取1，十位可取4个数，以此类推，所有满足条件的两位数共有：1512345(个)．典型例题三例3二年级一班有学生56人，其中男生38人，从中选取一名男生和一名女生作代表，参加学校组织的调查团，问选取代表的方法有几种．分析与解：男生38人，女生18人，由分步计数原理共有6841838（种）答：选取代表的方法有684种．说明：本题是用分步计数原理解答的，结合本题可以加深对“做一件事，完成之需要分成n个步骤”的理解，所谓“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，分析时，首先要根据问题的特点，确定一个分步的可行标准；其次，分步时还要注意满足完成这件事情必须并且只需连续完成这对n个步骤后，这件事情才算圆满完成，这时，才能使用来法原理．典型例题九例9某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件和磁盘至少各买2件，则不同的选购方法种数有多少种？分析：由于该电脑用户买两种材料所用总钱数不超过500元，所以购买软件和磁盘的数量互相制约，我们可以按购买软件的个数进行分类，用分类计数原理解题．解：购买单片软件、盒装磁盘各2件，需260元，用钱总数不超过500元，所以最多还可使用240元，按额外购买的单片软件的数目分类：购买4件，磁盘不再购买；购买3件，磁盘不再购买；购买2件，磁盘不再购买或买1件；购买1件，磁盘不再购买或买1件，或买2件；不购买，磁盘不再购买或买1件、2件、3件；使用分类计数原理，不同的购买结果共有1143211（种）．典型例题二例2在由电键组A与B所组成的并联电路中，如图，要接通电源，使电灯发光的方法有多少种？解：因为只要合上图中的任一电键，电灯即发光，由于在电键组A中有2个电键，电键组B中有3个电键，应用分类计数原理，所以共有：2+3=5种接通电源使灯发亮的方法。典型例题五例5在电键组A、B组成的串联电路中，如图，要接通欢迎登录100测评网进行学习检测，有效提高学习成绩.电源使灯发光的方法有几种？解：只要在合上A组中两个电键之后，再合上B组中3个电键中的任意一个，才能使电灯的电源接通，电灯才能发光，根据分步计数原理共有：2×3=6中不同的方法接通电源，使电灯发光。典型例题八例8(1)六名同学报名参加三项体育比赛，每人限报一项，共有多少种不同的报名结果？(2)六名同学参加三项比赛，三个项目比赛冠军的不同结果有多少种？分析：(1)可以把报名过程分成六步，你可以充当一个体育班委的角色，先让第一个人报名，有3种不同方法，再让第二个人报名，仍然有3种不同的方法，以此类推，用分步计数原理解题．(2)本题可视为通过比赛找出三个项目的冠军，仍然可以分为三步，第一步进行第一个项目的比赛，第二步进行第二个项目的比赛……用分步计数原理解题．解：(1)把报名过程分为六步，第一个人报名有三种方法，第二个人报名有3种方法，以此类推，不同的报名结果共有：72936种．(2)把比赛决出冠军的过程分为三步，先决出第一项目的冠军，有6种结果，再决出第二项目冠军，有6种结果，以此类推，比赛冠军的不同结果数为：21663种．说明：如果去掉(1)中每人限报一项的要求，又有多少种不同的报名结果？我们把三个项目记为a、b、c，这样每个人就有八种不同选择，分别为选a、选b、选c、选ab、选ac、选bc、选abc以及不选．再用原来的分步方法，使用分步计数原理，共有68种不同的投报结果．典型例题六例6同室4人各写1张贺年卡，先集中起来，然后每人从中各拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有（）A．6种B．9种C．11种D．23种分析：本题完成的具体事情是四个人，每人抽取一张贺卡，问题是按照一定要求，抽取结果有多少种不同情况．我们可以把抽卡片的过程分成四步，先是第一人抽，然后第二人，以此类推，但存在的问题是，我们把四个人记为A、B、C、D，他们的卡片依次记为a、b、c、d，如果第一步A抽取b，接着B可抽a、c、d，有三种方法，而A抽c或d，B仅有两种抽法，这样两步之间产生影响，这样必须就A抽的结果进行分类．解法1：设四人A，B，C，D写的贺年卡分别是a，b，c，d，当A拿贺年卡b，则B可拿a，c，d中的任何一个，即B拿a，C拿d，D拿c或B拿c，D拿a，C拿d或B拿d，C拿a，D拿c，所以A拿b时有三种不同分配方法．同理，A拿c，d时也各有三种不同的分配方式．由分类计数原理，四张贺年卡共有3＋3＋3=9种分配方式．解法2：让四人A，B，C，D依次拿一张别人送出的贺年卡．如果A先拿有3种，此欢迎登录100测评网进行学习检测，有效提高学习成绩.时写被A拿走的那张贺年卡的人也有3种不同的取法．接下来，剩下的两个人都各只有一种取法．由分步计数原理，四张贺年卡不同的分配方式有91133种．∴应选B．说明：（1）本题从不同的角度去思考，从而得到不同的解答方法，解法1是用分类计数原理解答的，解法2是用分步计数原理解答的．在此有必要再进一步对两个原理加以理解：如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．（2）分类计数原理、来法原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用．（3）如果把四个人依次抽取的结果用一个图表体现出来，就显得更加清楚．共有9种不同结果．这个图表我们称之为“树形图”，在解决此类问题往往很有效，通过它可以把各种不同结果直观地表现出来．典型例题十一例11(1)现有4封信需要寄出，邮局内共有三个邮箱，邮箱的功能相同．问共有多少种投信方法？(2)4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的1个运动队．不同报名方法的种数是43还是34？分析：这两个问题有一定代表性．以第(1)小题为例：需要完成的事件是把4封信都投出去，而不是把3个邮箱都投上信．事实上可以把4封信都投在一个邮箱里．要完成这件事，可以认为是分4步完成的：把第一封信投出去，把第二封信投出去，……，把第4封信投出去．应用分步计数原理即可得出答案．第(2)小题完全相同，需要完成的事件是4个同学都报上名．解：(1)完成这件事需分4步，即分4次投信：把第一封信投出去，有3种投法；把第二封信投出去，有3种投法；……．故共有81333334种不同的投法．(2)共有433333种不同的报名方法．说明：此类问题还可举出很多，例如教材上的习题：3个班分别从5个风景点中选择1处游览，不同选法的总数是53还是35？解决问题的关键是牢牢抓住“要完成的事情是什么”，本题要完成的事情是“3个班各选一个风景点”，故可认为分三步完成．答案应是欢迎登录100测评网进行学习检测，有效提高学习成绩.35555．典型例题十二例12已知集合3,1,0,2A，集合4,2,4,5B．从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，那么在平面直角坐标系内，位于第一、二象限中不同的点共有多少个？分析：本题要完成的事情是：选出横坐标、纵坐标组成一个点，但没有说明从哪个集合中选出的数作为横坐标，从哪个集合中选出的数作为纵坐标，因此选法可分两类：(1)从A中选出一数作为横坐标，从B中选出一数作为纵坐标；(2)从B中选出一数作为横坐标，从A中选出一数作为纵坐标．而每一类选法中又分两步完成．解：选法分为两类：(1)先从A中选出一个数作为横坐标，有3种选法)3,1,2(，再从B中选出一个数作为横坐标，有2种选法)4,2(（因为纵坐标必须大于0），故共有623种选法．(2)先从B中选出一个数作为横坐标，有4种选法)4,2,4,5(，再从A中选出一个数作为纵坐标，有2种选法)3,1(，故共有824种选法．根据分类计数原理，所有选法总数是1486种，也即位于第一、二象限内的点共有14个．说明：此类问题还可举出多例．如，用7,5,3,1作分子，用8,6,4,2作分母可构造多少个不同的分数？但有一问题需要注意，即有的选法可能被重复计算了2次，这样在合计选法总数时就应该减去1，即被多计算的那种选法，如，从集合1,2A和3,2,1B中各取一个元素作为点的坐标，则位于第一、二象限的点的个数是多少？如果按照例题的解法：点的个数应是91332，而实际上)2,2(被计算了两次：)1,2(，)2,2(，)3,2(，)1,1(，)2,1(，)3,1(，)2,1(，)2,2(，)2,3(．因此符合条件的点的个数应是8个．典型例题十四例14用5,4,3,2,1,0这6个数字：(1)可以组成______________个数字不重复的三位数．(2)可以组成______________个数字允许重复的三位数．(3)可以组成______________个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数．分析：第(1)和第(2)小题可以认为从上面6个数中选出三个数去填三个空：，故应分三步完成．百位数不能填0，同时应注意数字可重复与不可重复的欢迎登录100测评网进行学习检测，有效提高学习成绩.区别．第(3)小题应先分类再分步．解：(1)分三步：先选百位数字，由于0不能作百位数字，因此有5种选法；再选十位数字，由于数字不允许重复，因此只能从剩下的5个数字中选一个，有5种