高二数学数列中裂项求和测试题

3eud教育网百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！3eud教育网教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！数列中裂项求和的几种常见模型数列问题是高考的一大热点，而且综合性较强，既注重基础知识的掌握，又注重数学思想与方法的运用。而此类问题大多涉及数列求和，所以数列求和方法是学生必须掌握的，主要的求和方法有：公式法、拆项重组法、并项求和法，裂项相消法、错位相加法、倒序相加法等等，而裂项相消法是其中较为基础、较为灵活的一种，也是出现频率最高，形式最多的一种。下面就例举几种裂项求和的常见模型，以供参考。模型一：数列{}na是以d为公差的等差数列，且),3,2,1(0,0nadn，则)11(1111nnnnaadaa例1已知二次函数()yfx的图像经过坐标原点，其导函数为'()62fxx，数列{}na的前n项和为nS，点(,)()nnSnN均在函数()yfx的图像上。（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）设11nnnbaa，nT是数列{}nb的前n项和，求使得20nmT对所有nN都成立的最小正整数m；（2006年湖北省数学高考理科试题）解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx(a≠0),则f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得a=3,b=－2,所以f(x)＝3x2－2x.又因为点(,)()nnSnN均在函数()yfx的图像上，所以nS＝3n2－2n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－)1(2)132nn（＝6n－5.当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5（nN）（Ⅱ）由（Ⅰ）得知13nnnaab＝5)1(6)56(3nn＝)161561(21nn，3eud教育网百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！3eud教育网教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！故Tn＝niib1＝21)161561(...)13171()711(nn＝21（1－161n）.因此，要使21（1－161n）20m（nN）成立的m,必须且仅须满足21≤20m，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10..例2在xoy平面上有一系列点),,(111yxP),(222yxP，…，),(nnnyxP，…，（n∈N*），点Pn在函数)0(2xxy的图象上，以点Pn为圆心的圆Pn与x轴都相切，且圆Pn与圆Pn+1又彼此外切.若nnxxx11,1且.（I）求数列}{nx的通项公式；（II）设圆Pn的面积为123,,:2nnnnSTSSST求证解：（I）圆Pn与Pn+1彼此外切，令rn为圆Pn的半径，,)()(,||1212111nnnnnnnnnnyyyyxxrrPP即两边平方并化简得,4)(121nnnnyyxx由题意得，圆Pn的半径,4)(,212212nnnnnnnxxxxxyr),(211,2,01111Nnxxxxxxxxnnnnnnnn即11}1{1xxn是以数列为首项，以2为公差的等差数列，所以121,122)1(11nxnnxnn即（II）4422)12(nxyrSnnnn，])12(1311[2221nSSSTnn因为3eud教育网百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！3eud教育网教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！))12)(32(15.313.111(nn.23)12(223)]1211(211[)]}121321()5131()311[(211{nnnn所以，.23nT模型二：分母有理化，如：nnnn111例3已知)2(41)(2xxxf，)(xf的反函数为)(xg，点)1,(1nnaaA在曲线)(xgy上)(Nn，且11a(I)证明数列{21na}为等差数列；(Ⅱ)设1111nnnaab,记nnbbbS21，求nS解(I)∵点An(11,nnaa)在曲线y=g(x)上(n∈N+)，∴点(nnaa,11)在曲线y=f(x)上(n∈N+)4)1(12nnaa,并且an021141nnaa，),1(411221Nnnaann，∴数列{21na}为等差数列(Ⅱ)∵数列{21na}为等差数列，并且首项为211a=1，公差为4，∴21na=1+4（n—1），∴3412nan，∵an0，∴341nan，bn＝1111nnaa=4341414341nnnn,3eud教育网百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！3eud教育网教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！∴Sn＝b1＋b2+…＋bn=43414.......459415nn=4114n例4设40122N，则不超过11Nnn的最大整数为。(2008年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试题)解：21211nnnnn12(1)2(1)nnnnn,11212(1)12(1)NNNnnnnnnnn,112(1)2(11)12(1)NnNNNn,20062006112(21)2(11)221NnNn,不超过11Nnn的最大整数为200722。模型三：2n(2n+1－1)(2n－1)=12n－1－12n+1－1例5设数列na的前n项的和14122333nnnSa，n=1,2,3,….（Ⅰ）求首项1a与通项na；（Ⅱ）设2nnnTS，n=1,2,3,…，证明：132niiT（2006年全国数学高考理科试题）.解:(Ⅰ)由Sn=43an－13×2n+1+23,n=1,2,3，…,①得a1=S1=43a1－13×4+23所以a1=2.再由①有Sn－1=43an－1－13×2n+23,n=2,3，4,…将①和②相减得:an=Sn－Sn－1=43(an－an－1)－13×(2n+1－2n),n=2,3,…3eud教育网百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！3eud教育网教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！整理得:an+2n=4(an－1+2n－1),n=2,3,…,因而数列{an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即an+2n=4×4n－1=4n,n=1,2,3,…,因而an=4n－2n,n=1,2,3,…,(Ⅱ)将an=4n－2n代入①得Sn=43×(4n－2n)－13×2n+1+23=13×(2n+1－1)(2n+1－2)=23×(2n+1－1)(2n－1)Tn=2nSn=32×2n(2n+1－1)(2n－1)=32×(12n－1－12n+1－1)所以,1niiT=321(ni12i－1－12i+1－1)=32×(121－1－12i+1－1)32模型四：kkaaannn)(1，且),3,2,1(0nan，则1111nnnaaak例6设函数321()3gxxax的图象在1x处的切线平行于直线20xy.记()gx的导函数为()fx.数列na满足：112a,1()nnafa.(Ⅰ)求函数()fx的解析式;(Ⅱ)试判断数列na的增减性,并给出证明;(Ⅲ)当2,*Nnn时,证明:1211112111naaa.解：（Ⅰ）∵函数321()3gxxax的导函数为2()2fxxax，由于在1x处的切线平行于20xy，∴122a12a，∴2()fxxx(Ⅱ)∵1()nnafa,∴2211nnnnnnaaaaaa,∵112a,故0na,所以10nnaa,所以na是单调递增.(Ⅲ)∵1(1)nnnaaa,∴111(1)nnnaaa=11_1nnaa,∴11111nnnaaa∴1121111aaa,2231111aaa,3341111aaa…11111nnnaaa3eud教育网百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！3eud教育网教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！令nS12231111111122nnaaaaaa当2n时,nS1212111112426111113721naaaaa1∴1211112111naaa例7已知数列}{na满足naaann2,111)3,2,1(n，}{nb满足,11bnbbbnnn21)3,2,1(n，证明：1121111nkkkkkkbkaba。(2006年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试题)证明：记nkkkkknkbkabaI1111，则nIII2121。而nkkknkbaI11))(1(1nkknkkkba111111。因为naaann2,111，所以)1(11kkak。从而有1111)1(111111nkkanknkk。（1）又因为kkbbkbbbkkkkk)(21，所以kbbkbbkbkkkkk11)(11，即1111kkkbbkb。从而有111111111bbbkbnnkk。（2）由（1）和（2）即得1nI。综合得到121nI。左边不等式的等号成立当且仅当n=1时成立。以上我们通过几个典型问题的解析，总结了四类裂项求和的常见模型，可以让我们更清楚的认识到裂项相消的来龙去脉，而这些模型是近几年高考中普遍采用的，要求我们注重培养学生的化归、转化的能力。