高二数学期末复习学案(圆锥曲线与方程)

瓯海中学高二数学期末复习学案（圆锥曲线与方程）一、曲线与方程知识梳理曲线属于“形”的范畴，方程则属于“数”的范畴，它们通过直角坐标系而联系在一起，本节教材中把曲线看成是动点的轨迹，蕴涵了用运动的观点看问题的思想方法；把曲线看成方程的几何表示，方程看作曲线的代数反映，又包含了对应与转化的思想方法新疆学案王新敞1．“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义：如果某曲线C上的点与一个二元方程0),(yxf的实数解建立了如下关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（纯粹性）新疆学案王新敞(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．（完备性）新疆学案王新敞那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线新疆学案王新敞2．求简单的曲线方程的一般步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件P的点M的集合；（3）用坐标表示条件P（M），列出方程0),(yxf;（4）化方程0),(yxf为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点新疆学案王新敞二、椭圆知识梳理1奎屯王新敞新疆椭圆定义：平面内与两个定点21,FF的距离之和等于常数（大于||21FF）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距奎屯王新敞新疆2.椭圆标准方程：（1）12222byax奎屯王新敞新疆(0ba)（2）12222bxay奎屯王新敞新疆(0ba)3．椭圆的几何性质：由椭圆方程12222byax(0ba)(1)范围:axa,byb，(2)对称性:图象关于y轴对称．图象关于x轴对称．图象关于原点对称奎屯王新敞新疆原点叫椭圆的对称中心，简称中心．（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点奎屯王新敞新疆椭圆共有四个顶点：)0,(),0,(2aAaA，),0(),,0(2bBbB奎屯王新敞新疆21AA叫椭圆的长轴，21BB叫椭圆的短轴．长分别为ba2,2ba,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长.(4)离心率:椭圆焦距与长轴长之比奎屯王新敞新疆ace2)(1abe奎屯王新敞新疆10e奎屯王新敞新疆4．椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个常数e（10e），那么这个点的轨迹叫做椭圆奎屯王新敞新疆其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，K2F2F1N1K1N2PB2B1A2A1xOyK2F2F1N1K1N2PB2B1A2A1xOy5．椭圆的准线方程对于12222byax，相对于左焦点)0,(1cF对应着左准线caxl21:；相对于右焦点)0,(2cF对应着右准线caxl22:奎屯王新敞新疆6．椭圆的焦半径公式：（左焦半径）01exar,（右焦半径）02exar三、双曲线知识梳理1．双曲线的定义：平面内到两定点21,FF的距离的差的绝对值为常数（小于21FF）的动点的轨迹叫双曲线奎屯王新敞新疆即aMFMF2212．双曲线的标准方程：焦点在x轴上时双曲线的标准方程为：12222byax(0a,0b)；焦点在y轴上时双曲线的标准方程为：12222bxay(0a,0b)2．双曲线的几何性质：（1）．范围、对称性由标准方程12222byax，从横的方向来看，直线x=-a,x=a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线奎屯王新敞新疆双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心奎屯王新敞新疆（2）．顶点顶点：0,),0,(21aAaA特殊点：bBbB,0),,0(21实轴：21AA长为2a,a叫做半实轴长奎屯王新敞新疆虚轴：21BB长为2b，b叫做虚半轴长奎屯王新敞新疆（3）．渐近线双曲线12222byax的渐近线xaby（0byax）（4）．等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线奎屯王新敞新疆等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：xy；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率2e奎屯王新敞新疆等轴双曲线可以设为：)0(22yx，0焦点在x轴，0焦点在y轴上奎屯王新敞新疆（5）．共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为xaby)0(kxkakb，那么此双曲线方程就一定是：)0(1)()(2222kkbykax或写成2222byax奎屯王新敞新疆（6）．离心率：双曲线的焦距与实轴长的比acace22，叫做双曲线的离心率（1e）四、抛物线知识梳理1.抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线奎屯王新敞新疆定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线奎屯王新敞新疆2．抛物线的准线方程：如图所示，分别建立直角坐标系，设|KF|=p（p0），则抛物线的标准方程如下：xy(1)MKFODxyKDFM(2)OxyKDFM(3)OxyKDFM(4)OD(1))0(22ppxy,焦点:)0,2(p，准线l：2px奎屯王新敞新疆(2))0(22ppyx,焦点:)2,0(p，准线l：2py奎屯王新敞新疆(3))0(22ppxy,焦点:)0,2(p，准线l：2px奎屯王新敞新疆(4))0(22ppyx,焦点:)2,0(p，准线l：2py奎屯王新敞新疆xyQB1B2A1A2NMOp的几何意义：是焦点到准线的距离3．抛物线的几何性质（略）※抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线（1）.抛物线的焦半径及其应用：焦半径公式：抛物线)0(22ppxy，0022xppxPF抛物线)0(22ppxy，0022xppxPF抛物线)0(22ppyx，0022yppyPF抛物线)0(22ppyx，0022yppyPF（2）焦点弦：定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。焦点弦公式：设两交点),(),(2211yxByxA，可以通过两次焦半径公式得到：当抛物线焦点在x轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关：抛物线)0(22ppxy，)(21xxpAB奎屯王新敞新疆（3）通径：定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦奎屯王新敞新疆直接应用抛物线定义，得到通径：pd2五、关于弦长计算:直线与二次曲线相交所得的弦长直线具有斜率k,直线与二次曲线的两个交点坐标分别为1122(,),(,)AxyBxy,则它的弦长2221212121(1)()4ABxxxxxxkk1211yy2k注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为1212()yyxxk，运用韦达定理来进行计算.当直线斜率不存在是,则12AByy.高二数学选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》复习试卷一、选择题：1．曲线y=x与曲线与y=4-x2所围成的图形面积是（）A、B、4或2C、2D、不确定2．设21,FF为定点，|21FF|=6，动点M满足6||||21MFMF，则动点M的轨迹是（）A.椭圆B.直线C.圆D.3．方程y=ax+b和a2x2+y2=b2(ab1)在同一坐标系中的图形可能是()4．椭圆134222nyx和双曲线116222ynx有相同的焦点，则实数n的值是（）A5B3C5D95.双曲线kx2+4y2=4k的离心率小于2，则k的取值范围是()（A）（-∞,0）（B）(-3,0)（C）(-12,0)（D）(-12,1)6.设∈(0,2)，方程1cossin22yx表示焦点在x轴上的椭圆，则∈()A.(0,4]B.(4,2)C.(0,4)D.［4,2)7．与双曲线116922yx有共同的渐近线，且经过点A}32,3(的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是()（A）8（B）4（C）2（D）18．抛物线y2=ax(a≠0)的准线方程是()(A)x=-4a(B)x=4a(C)x=-4|a|(D)x=4|a|9.（辽宁卷10）已知点P是抛物线22yx上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A．172B．3C．5D．9210．（2009天津卷理）设抛物线2y=2x的焦点为F，过点M（3，0）的直线与抛物线相xyxyxyxy(A)(B)(C)(D)交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，BF=2，则BCF与ACF的面积之比BCFACFSS=（A）45（B）23（C）47（D）12()二、填空题：11.（全国一15）在ABC△中，ABBC，7cos18B．若以AB，为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e．12．在椭圆x216+y24=1内以点P（-2，1）为中点的弦所在的直线方程为__________13．（2009福建卷理）过抛物线22(0)ypxp的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p________________14.（海南卷14）过双曲线221916xy的右顶点为A，右焦点为F。过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为_______15．若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是__________16．若直线y=kx-1与焦点在x轴上的椭圆1522myx总有公共点，则m的取值范围是。三、解答题：17．已知△ABC，)2,0(),0,2(BA，第三个顶点C在曲线132xy上移动，求△ABC的重心的轨迹方程新疆学案王新敞18．求与圆1)3(22yx及9)3(22yx都外切的动圆圆心的轨迹方程奎屯王新敞新疆19．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线)0(22ppxy上，求这个正三角形的边长．20．已知抛物线022ppxy与直线1xy相交于A、B两点，以弦长AB为直径的圆恰好过原点，求此抛物线的方程奎屯王新敞新疆21．（北京卷19）．（本小题共14分）已知菱形ABCD的顶点AC，在椭圆2234xy上，对角线BD所在直线的斜率为1．（Ⅰ）当直线BD过点(01)，时，求直线AC的方程；（Ⅱ）当60ABC时，求菱形ABCD面积的最大值．22．（广东卷18）．（本小题满分14分）设0b，椭圆方程为222212xybb，抛物线方程为28()xyb．如图4所示，过点(02)Fb，作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点1F．（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设AB，分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得ABP△为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．